Question

दर्शाइए कि किसी समांतर श्रेणी के $(m + n)^{th}$ वें तथा $(m - n)^{th}$ वें पदों का योग $m^{th}$वें पद का दुगुना हैं।

Answer 1

हल :- माना एक समान्तर श्रेढी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है ।

तब , श्रेढी का m वाँ पद

Tm = a + ( m - 1 ) d .......... ( 1 )

इसी श्रेढी का ( m + n ) वाँ पद

$\bf \: T _{m + n} = a + ( m + n - 1 ) d ............ . . ( 2 )$

और इसी श्रेढी का ( m - n ) वाँ पद

$\bf \: T _{m - n} = a + ( m - n - 1 ) d ............ . . ( 3 )$

समीकरण ( 2 ) व समीकरण ( 3 ) को जोड़ने पर ,

$\bf \: T_{m + n } + T_{m - n} \\ \\ = \bf \: 2a + (m + n - 1 + m - n - 1)d \\ \\ = \bf \: 2a + 2(m - 1)d \\ \\ = \bf \: 2 \{ a + (m - 1)d\} \\ \\ \bf \: = 2T_{m} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: from \: the \: first \: equation \:$

अतः ( m + n ) वे पद तथा ( m - n ) वे पद का योग = 2 × m वाँ पद