Question

The Condition that one root of x^3+px^2+qx+r=0 is sum of the other two roots, is
a)q^3 = 4(pq - 2r)
b)p^3 = 4(pq- 2r)
c)r^3 = 4(pr- 2q)
4)p^3 = 4(pq- r)​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{One root of}\;\mathsf{x^3+p\,x^2+q\,x+r=0}$

$\;\;\textsf{is the sum of the other two}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{The condition that one root of the equation is the}$

$\textsf{sum of the other two roots}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{Let the roots of the equation be a, b and c}$

$\mathsf{Then,\;a=b+c}$

$\underline{\mathsf{S_1:}}$

$\mathsf{a+b+c=-p}$

$\mathsf{a+a=-p}$

$\mathsf{2\,a=-p}$

$\mathsf{a=\dfrac{-p}{2}}--------(1)$

$\underline{\mathsf{S_2:}}$

$\mathsf{ab+bc+ca=q}$

$\mathsf{a(b+c)+bc=q}$

$\mathsf{a(a)+bc=q}$

$\mathsf{a^2+bc=q}$

$\mathsf{Using (1), we get}$

$\mathsf{\left(\dfrac{-p}{2}\right)^2+bc=q}$

$\mathsf{\dfrac{p^2}{4}+bc=q}-------(2)$

$\underline{\mathsf{S_3:}}$

$\mathsf{a\,b\,c=-r}$

$\mathsf{\left(\dfrac{-p}{2}\right)b\,c=-r}$

$\mathsf{\left(\dfrac{p}{2}\right)b\,c=r}$

$\mathsf{b\,c=\dfrac{2r}{p}}---------(3)$

$\textsf{Using (3) in(2), we get}$

$\mathsf{\dfrac{p^2}{4}+\dfrac{2r}{p}=q}$

$\mathsf{\dfrac{p^3+8r}{4p}=q}$

$\mathsf{p^3+8r=4pq}$

$\mathsf{p^3=4pq-8r}$

$\implies\boxed{\mathsf{p^3=4(pq-2r)}}$

$\underline{\textbf{Answer:}}$

$\textsf{Option (b) is correct}$

#SPJ3

Answer 2

Answer:

option b is right answer