Question

the first, second and the last terms of an A.P. are a,b,c respectively.prove that the sum is
(a+c)(b+c-2a)/2(b-a)

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\textsf{The first, second and the last terms of an A.P are}$

$\textsf{a,b,c respectively}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{Sum\;of\;the\;terms=\dfrac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{First\;term,\;t_1=a}$

$\mathsf{Second\;term,\;t_2=b}$

$\mathsf{Last\;term,\;l=c}$

$\implies\mathsf{Common\;difference,\;d=t_2-t_1=b-a}$

$\mathsf{Number\;of\;terms\;of\;the\;A.P}$

$\mathsf{=\dfrac{l-a}{d}+1}$

$\mathsf{=\dfrac{c-a}{b-a}+1}$

$\mathsf{=\dfrac{c-a+b-a}{b-a}}$

$\mathsf{=\dfrac{b+c-2a}{b-a}}$

$\mathsf{Now,}$

$\textbf{Sum of the terms of the A.P}\bf\,=\dfrac{n}{2}(a+l)$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{b+c-2a}{b-a}}{2}(a+c)}$

$\mathsf{=\dfrac{b+c-2a}{2(b-a)}(a+c)}$

$\mathsf{=\dfrac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}}$

$\implies\boxed{\mathsf{Sum\;of\;the\;terms=\dfrac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}}}$