Question

The system of equations sin x cos y = a^2
and siny.cosx = a​

Answer 1

Given: $\mathsf{sinx\:cosy=a^{2}}$ and $\mathsf{siny\:cosx=a}$

To find: solution

Solution:

Here,

• $\mathsf{sinx\:cosy=a^{2}\:...\:...(1)}$

• $\mathsf{siny\:cosx=a\:...\:...(2)}$

Adding (1) and (2), we get

• $\mathsf{sinx\:cosy+cosx\:siny=a^{2}+a}$

• $\Rightarrow \mathsf{sin(x+y)=a^{2}+a}$

• $\Rightarrow \mathsf{x+y=sin^{-1}(a^{2}+a)\:...\:...(3)}$

Subtracting from (1) and (2), we get

• $\mathsf{sinx\:cosy-cosx\:siny=a^{2}-a}$

• $\Rightarrow \mathsf{sin(x-y)=a^{2}-a}$

• $\Rightarrow \mathsf{x-y=sin^{-1}(a^{2}-a)\:...\:...(4)}$

Adding (3) and (4), we get

• $\mathsf{2x=sin^{-1}(a^{2}+a)+sin^{-1}(a^{2}-a)}$

• $\Rightarrow \mathsf{x=\frac{1}{2}[sin^{-1}(a^{2}+a)+sin^{-1}(a^{2}-a)]}$

Subtracting from (3) and (4), we get

• $\mathsf{2y=sin^{-1}(a^{2}+a)-sin^{-1}(a^{2}-a)}$

• $\Rightarrow \mathsf{y=\frac{1}{2}[sin^{-1}(a^{2}+a)-sin^{-1}(a^{2}-a)]}$

Answer: the required solution is

• $\mathsf{x=\frac{1}{2}[sin^{-1}(a^{2}+a)+sin^{-1}(a^{2}-a)]}$

• $\mathsf{y=\frac{1}{2}[sin^{-1}(a^{2}+a)-sin^{-1}(a^{2}-a)]}$