Question

The vertices of a ∆ PQR are P (–2,0), Q(2,0) and R(0,2). The vertices of ∆ XYZ are X(–4,0), Y(4,0) and Z (0,4), check whether ∆PQR ≈ Δ XYZ or not.

Answer 1

$\huge{\boxed{\bf{\red{Solution:-}}}}$

$\tt \: We \: have,$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: P \: → \: ( - 20)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Q \: → \: (20)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: R\: → \: (02)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: X \: → \: ( - 40)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Y \: → \: (40)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: Z \: → \: (04)$

$\: \tt \: By \: Using \: Distance \: Formula,$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: PQ = \sqrt{(2 + 2) {}^{2} + (0 - 0) {}^{2} } = 4$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: QR = \sqrt{(0 - 2) {}^{2} + (2 - 0) {}^{2} }$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \sqrt{4 \times 2} = 2 \sqrt{2}$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: XY = \sqrt{ (4 + 4) {}^{2} + (0 - 0) {}^{2} }$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \: \sqrt{(8) {}^{2} + (0) {}^{2} } = 8$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: YZ = \sqrt{(0 - 4) {}^{2} + (4 - 0) {}^{2} }$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \sqrt{16 + 16 } = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 4 \sqrt{2} .$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ZX = \sqrt{(0 + 4) {}^{2} + (4 - 0) {}^{2} }$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 4 \sqrt{2}$

$\tt \: We \: find \: that$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{PQ}{XY} \ \bigg( = \frac{4}{8} \bigg) = \frac{QR}{YZ} = \bigg( \frac{2 \sqrt{2} }{4 \sqrt{2} } \bigg)$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{RP}{ZX} = \bigg( \frac{2 \sqrt{2} }{4 \sqrt{2} } \bigg) \bigg[= \frac{1}{2} \bigg]$

$\tt \therefore \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \triangle \: PQR \sim \triangle \: XYZ.$

$\tt \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \tt{By \: SSS \: similarity \: criterion}}$