Question

u=cos^-1(x+y/rootx+rooty)=1/2cotu prove that​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{u=cos^{-1}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\underline{\textbf{To prove:}}$

$\mathsf{x\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,cotu}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{u=cos^{-1}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{cos\,u=\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=f(x,y)\;(say)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{tx+ty}{\sqrt{tx}+\sqrt{ty}}}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{tx+ty}{\sqrt{t}\sqrt{x}+\sqrt{t}\sqrt{y}}}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{t(x+y)}{\sqrt{t}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\dfrac{\sqrt{t}\sqrt{t}(x+y)}{\sqrt{t}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}$

$\mathsf{f(tx,ty)=\sqrt{t}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=t^\frac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)}$

$\mathsf{f(tx,ty)=t^\frac{1}{2}\,f(x,y)}$

$\implies\textbf{f is a homogeneous function of degree}\;\bf\dfrac{1}{2}$

$\textsf{By Euler's theorem,}$

$\mathsf{x\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,f}$

$\mathsf{x\,\dfrac{\partial(cos\,u)}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial(cos\,u)}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,cos\,u}$

$\mathsf{x\,sinu\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\,sinu\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,cos\,u}$

$\mathsf{Divide\;bothsides\;by\;sin\,u}$

$\mathsf{x\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,\dfrac{cos\,u}{sin\,u}}$

$\implies\boxed{\mathsf{x\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial\,u}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,cotu}}$

$\underline{\textbf{Euler's theorem:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{7cm} \\\mathsf{If\;f\;is\;a\;homogeneous\;function\;of\;degree\;n,\;}\\\\\mathsf{then\;\;\;\;\;x\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,x}+y\,\dfrac{\partial\,f}{\partial\,y}=\dfrac{1}{2}\,f} \end{minipage}}$