Un sólido tiene base en el sector de parábola comprendido entre y = x 2 y la recta y = 4, y las intersecciones con planos perpendiculares a la base y paralelos al eje x son cuadrados. Determinar su volumen.
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Lo que dio origen a la integral en el c´alculo de ´areas (hacer una partici ´on de un intervalo, obtener aproximaci ´on del ´area, refinar la partici ´on, tomar l´ımites, entre otros) puede ahora aplicarse para calcular el volumen de un s ´olido, teniendo en cuenta ciertas suposiciones generales. Imaginemos un s ´olido B en el espacio
cuyo volumen V .B/ deseamos calcular.
Este volumen es una medida de la extensi ´on del s ´olido, y al igual que el ´area satisface las propiedades:
1. V .B/ 0.
2. V .B1
S
B2/ D V .B1/ C V .B2/, siempre que B1
T
B2 D Ø.
Un cilindro es un s ´olido que tiene una cara plana que llamaremos base y altura constante h. Adem´as, La
base tiene exactamente la misma forma que la tapa superior y que cualquier corte o secci ´on transversal
paralela a la base.
canek.azc.uam.mx: 13/ 1/ 2017
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2 C´alculo integral
El s ´olido que usualmente llamamos cilindro es en realidad un cilindro circular recto. El cilindro como lo
acabamos de definir puede tener base de cualquier forma R, en particular cuando R es un pol´ıgono el
correspondiente cilindro es un prisma:
Una vez aclarado lo que entendemos por cilindro, enunciamos la propiedad de normalizaci ´on del volumen:
3. Si B es un cilindro cuya base es la figura plana R y con altura h, entonces su volumen es
V .B/ D A.R/ h;
es decir, es el producto del ´area de su base por su altura.
Observaci ´on. La propiedad anterior concuerda con las ideas previamente adquiridas en geometr´ıa, por
ejemplo, si el cilindro es un prisma, su volumen se calcula exactamente como el ´area de la base por la
altura.
Para calcular el volumen de s ´olidos que no necesariamente sean cilindros utilizamos un razonamiento parecido al que aplicamos para el c´alculo de ´areas, basado en rect ´angulos; pero ahora calcularemos bas´andonos
en el volumen de cilindros, esto es:
Supongamos que para el s ´olido B cuyo volumen queremos calcular hay una l´ınea recta ` de tal forma
que podemos hacer cortes del s ´olido B con planos perpendiculares a `, como sucede en las m´aquinas
que se usan para rebanar alimentos.
3.1 Volumen de s ´olidos 3
Para que nuestro argumento avance, tenemos que suponer algo m´as: que la l´ınea ` est ´a graduada o
tiene escala, de manera que podemos hacer un corte perpendicular a ` a cualquier distancia x dentro
de cierto rango Œa; b.
Suponemos tambi´en que ese corte a la distancia x es una cara plana, digamos R.x/, cuya ´area debe
ser posible calcular; denotemos dicha ´area por
A.x/ D ´area de R.x/:
Con los anteriores supuestos, podemos calcular el volumen de un s ´olido B por medio de los pasos
siguientes:
F Tomamos una partici ´on del intervalo Œa; b, esto es, a D x0 < x1 < x2 < < xn D b.
F Para cada subintervalo de la partici ´on Œxi1; xi
tomamos un punto x
i 2 Œxi1; xi
.
F Hacemos un corte perpendicular a la l´ınea ` que pase por el punto x
i
. Este corte determina una
regi ´on plana del s ´olido cuya ´area A.x
i
/ se calcula.
`
b
x
i
F Se construye un cilindro recto cuya ´area de la base es A.x
i
/ y la altura es xi D xi xi1.
`
b
xi
F Obtenemos as´ı, una aproximaci ´on al volumen del s ´olido mediante la f ´ormula
Vol.B/
Xn
iD1
A.x
i
/.xi xi1/ D
Xn
iD1
A.x
i
/xi
;
`
F La aproximaci ´on ser´a mejor a medida que tomamos particiones m´as finas, con n tendiendo a 1 y
con xi tendiendo a cero. El m´etodo as´ı esbozado producir´a, en el l´ımite, el volumen del s ´olido:
Vol.B/ D
Z b
a
A.
4 C´alculo integral
Ejemplo 3.1.1 Calcular el volumen de una pir´amide de base cuadrada con lado a & altura h.
H Pongamos en el eje x la l´ınea que une los centros de los cuadrados que forman las secciones transversales de la pir´amide, como se muestra en la siguiente figura:
a
b
b
b
h
`.x/
x
y
b b b
a
h
`.x/
x
0
b
.h; a
2
/
De esta forma el v´ertice de las caras triangulares de la pir´amide coincide con el origen, y los cortes con
planos perpendiculares al eje son todos cuadrados; hay un cuadrado para cada x desde 0 hasta h. El lado
de esos cuadrados crece linealmente, desde 0 cuando x D 0 hasta a cuando x D h; por tanto, el lado `.x/
del cuadrado en el corte por x es `.x/ D
ax
h
, para 0 x h. El ´area correspondiente a dicho cuadrado ser´a
entonces:
A.x/ D Œ`.x/2 D
ax
h
2
D
a
2x
2
h
2
:
De acuerdo con la discusi ´on previa, el volumen de la pir´amide es
V D
Z h
0
A.x/ dx D
Z h
0
a
2x
2
h
2
dx D
a
2
h
2
x
3
3