Question

व्यंजक x3+x2+x+1 और x4-1 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

व्यंजक $x^{3} +x^{2}$+x+1 और $x^{4}$-1 का महत्तम समापवर्तक $x^{3} +x^{2}$+x+1 है।

Step-by-step explanation:

दिए गए व्यंजक $x^{3} +x^{2}$+x+1 और $x^{4}$-1  को निम्न प्रकार से गुणनखंड करके लिखा जा सकता है -

• $x^{3} +x^{2}$+x+1 = $x^{2}$(x+1 ) + 1(x+1) = ($x^{2}$+1)(x+1 )

• सूत्र $(a)^{2} -b^{2} = (a+b)(a-b)$ के प्रयोग से-

      $x^{4}$-1 = $(x^{2} )^{2}$ -1 = ($x^{2}$+1)($x^{2}$-1) = ($x^{2}$+1)(x+1 )(x-1)

किसी दो व्यंजक का म. स. वह पद होता है जो  दोनों व्यंजको में उपस्थित  हो।  

इन दोनों व्यंजको में वह पद ($x^{2}$+1)(x+1 ) है।  

इसलिए म. स. = ($x^{2}$+1)(x+1 ) = $x^{3} +x^{2}$+x+1

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Q.1.- X^4+x^2+1  Find HCF of this equation

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Q.2.- 2502 तथा ३६५४ का म स ज्ञात कीजिये

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Q.3.- अभाज्य गुणनखंड विधि से 26एवं 91का ल स और म स​

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Answer 2

$\mathbf{x^{3}+x^{2}+x+1}$ उच्चतम सामान्य कारक है

चरण-दर-चरण स्पष्टीकरण:

1. बहुपद का कारक $\mathbf{x^{3}+x^{2}+x+1}$

  $\mathbf{=x^{2}(x+1)+1(x+1)}$

  $\mathbf{=(x^{2}+1)(x+1)}$    

   माध्यम

    $\mathbf{x^{3}+x^{2}+x+1=(x^{2}+1)(x+1)}$                         ...1)

2.  बहुपद का कारक $\mathbf{x^{4}-1}$

  $\mathbf{=(x^{2})^{2}-1^{2}}$

  $\mathbf{=(x^{2}+1)(x^{2}-1)}$

  $\mathbf{=(x^{2}+1)(x-1)(x+1)}$

   माध्यम

  $\mathbf{x^{4}-1=(x^{2}+1)(x-1)(x+1)}$                             ...2)

3.  उच्चतम आम कारक अलग-अलग संख्या या बहुपद में सामान्य शब्द का गुणन है।

   तो समीकरण 1) और समीकरण 2) से उच्चतम सामान्य कारक

  उच्चतम आम कारक $\mathbf{=(x^{2}+1)(x+1)}$

   इसलिए

   उच्चतम आम कारक $\mathbf{=x^{3}+x^{2}+x+1}$