वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे निम्नलिखित संख्याओं को गुणा करने पर पूर्ण धन प्राप्त हो जाए: (i) 243 (ii) 256 (iii) 72 (iv) 675 (v) 100
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Answer with Step-by-step explanation:
(i)243 के अभाज्य गुणनखंड = (3 × 3 × 3) × 3 × 3
हम देखते हैं कि 243 के अभाज्य गुणनखंडों में 3 ,तीन के समूह में है । फिर भी दो समान गुणनखंड 3 और 3 शेष बचते हैं।
इसलिए यदि हम 3 × 3 को 3 से गुणा करें तो 3 का एक और त्रिक बन जाएगा तथा गुणनफल एक पूर्ण घन हो जाएगा।
अर्थात
243 × 3 = (3 × 3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 729 जो कि एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या जिससे 243 को गुणा किया जाए ताकि यह पूर्ण घन बन जाए 3 है।
(ii) 256 के अभाज्य गुणनखंड = (2 × 2 × 2) ×( 2 × 2 × 2) × 2 × 2
हम देखते हैं कि 256 के अभाज्य गुणनखंडों में 2 के दो त्रिक बनते हैं। शेष बचे दो समान गुणनखंड 2,2 है ।
इसे पूर्ण घन बनाने के लिए हमें एक 2 की आवश्यकता है।
इसलिए यदि हम 2 × 2 को 2 से गुणा करें तो 2 का एक और त्रिक बन जाएगा तथा गुणनफल एक पूर्ण घन हो जाएगा।
अर्थात
256 × 2 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) = 512 जो कि एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या जिससे 256 को गुणा किया जाए ताकि यह पूर्ण घन बन जाए 2 है।
(iii) 72 के अभाज्य गुणनखंड = (2 × 2 × 2) × 3 × 3
हम देखते हैं कि 72 के अभाज्य गुणनखंडों में 2 ,तीन के समूह में है । फिर भी हमारे पास दो गुणनखंड 3 और 3 शेष बचते हैं।
इसलिए यदि हम 3 × 3 को 3 से गुणा करें तो 3 का एक और त्रिक बन जाएगा तथा गुणनफल एक पूर्ण घन हो जाएगा।
अर्थात
72 × 3 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 216 जो कि एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या जिससे 72 को गुणा किया जाए ताकि यह पूर्ण घन बन जाए 3 है।
(iv) 675 के अभाज्य गुणनखंड = (3 × 3 × 3) × 5 × 5
हम देखते हैं कि 675 के अभाज्य गुणनखंडों में 3 ,तीन के समूह में है । फिर भी हमारे पास दो गुणनखंड 5 और 5 शेष बचते हैं।
इसलिए यदि हम 5 × 5 को 5 से गुणा करें तो 5 का एक और त्रिक बन जाएगा तथा गुणनफल एक पूर्ण घन हो जाएगा।
अर्थात
675 × 5 = (3 × 3 × 3 )× (5 × 5 × 5 ) = 3375 जो कि एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या जिससे 675 को गुणा किया जाए ताकि यह पूर्ण घन बन जाए 5 है।
(v) 100 के अभाज्य गुणनखंड = (2 × 2) × (5 × 5)
हम देखते हैं कि 675 के अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 तीन - तीन के समूहों में नहीं आ रहे हैं।
इनको तीन -तीन के समूहों में बनाने के लिए हमें एक 2 तथा एक 5 और चाहिए।
इसलिए यदि हम 2 × 2 को 2 से गुणा करें और 5 × 5 को 5 से गुणा करें तो 2 और 5 का एक और त्रिक बन जाएगा तथा गुणनफल एक पूर्ण घन हो जाएगा।
अर्थात
100 × 2 × 5 = (2 × 2 × 2) ×( 5 × 5 × 5) = 1000 जो कि एक पूर्ण घन है।
अतः सबसे छोटी संख्या जिससे 100 को गुणा किया जाए ताकि यह पूर्ण घन बन जाए 10 है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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Explanation:
1 - 243
हमारे पास 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 (एलसीएम द्वारा)
प्रधान कारक 3 तीन का समूह नहीं है।
∴ 243 एक पूर्ण घन नहीं है।
अब, [243] × 3 = [3 × 3 × 3 × 3 × 3] × 3
या 729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
अब, 729 एक पूर्ण घन बन जाता है।
इस प्रकार, एक पूर्ण घन बनाने के लिए 243 को गुणा करने के लिए सबसे छोटी आवश्यक संख्या 3 है।
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2 - 256
हमारे पास 256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 (एलसीएम द्वारा)
त्रिगुणों में 256 के प्रमुख कारकों को समूहीकृत करते हुए, हमें 2 × 2 के साथ छोड़ दिया जाता है।
A 256 एक पूर्ण घन नहीं है।
अब, [256] × 2 = [2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2] × 2
या 512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
यानी 512 एक संपूर्ण घन है।
इस प्रकार, आवश्यक छोटी संख्या 2 है।
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3 - 72
हमारे पास 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 (एलसीएम द्वारा)
तीनों में 72 के प्रमुख कारकों को समूहीकृत करते हुए, हमें 3 × 3 के साथ छोड़ दिया जाता है।
A 72 एक पूर्ण घन नहीं है।
या 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
यानी 216 परफेक्ट क्यूब है।
∴ यह एक पूर्ण घन बनाने के लिए 72 को गुणा करने के लिए आवश्यक सबसे छोटी संख्या 3 है।
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4 - 675 रु
हमारे पास 675 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 (एलसीएम द्वारा)
675 से लेकर त्रिगुणों के प्रमुख कारकों को समूहीकृत करते हुए, हमें 5 × 5 के साथ छोड़ दिया जाता है। of 675 एक पूर्ण घन नहीं है।
अब, [675] × 5 = [3 × 3 × 3 × 5 × 5] × 5
या 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
अब, 3375 एक पूर्ण घन है।
इस प्रकार, सबसे छोटी आवश्यक संख्या 675 को गुणा करने के लिए नई संख्या सही घन 5 है।
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५ - १००
हमारे पास 100 = 2 × 2 × 5 × 5 है (एलसीएम द्वारा)
मुख्य कारक त्रिगुणों के समूह में नहीं हैं।
∴100 एक पूर्ण घन नहीं है।
अब [100] × 2 × 5 = [2 × 2 × 5 × 5] × 2 × 5
या [१००] × १० = २ × २ × २ × ५ × ५ × ५
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
अब, 1000 एक पूर्ण घन है।
इस प्रकार, आवश्यक छोटी संख्या 10 है।
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उम्मीद है की यह मदद करेगा :)