Question

verify that 3,-2,1 are the zeros of the cubic polynomial p(x)=x^3-2x^2-5x+6 and verify the relationship between the zeros and coefficients​

Answer 1

Solution:-

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\tt{p(x) = {x}^{3} - {2x}^{2} - 5x + 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substitute the value of x = 3

$\tt{p(3) = {x}^{3} - {2x}^{2} - 5x + 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = {3}^{3} - 2 {(3)}^{2} - 5x + 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ =27 - 18- 15 + 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \cancel9- \cancel9}$

$\tt\purple{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 0}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Now substitute the value of x = (-2)

$\tt{p(2) = {x}^{3} - {2x}^{2} - 5x + 6 }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = { - 2}^{3} - 2{( - 2)}^{2} - 5 \times (- 2)+ 6 }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = - 8 - 8 + 10+ 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = - \cancel16 + \cancel16}$

$\tt\purple{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 0}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Now substitute the value of x = 1

$\tt{p(1) = {x}^{3} - {2x}^{2} - 5x + 6 }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = { 1}^{3} - 2{(1)}^{2} - 5 \times 1+ 6 }$

$\tt{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: =1- 2 - 5 + 6 }$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = - \cancel1 + \cancel1}$

$\tt\purple{ \: \: \: \: \: \: \: \: \: = 0}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Hence, Proved all are the zeros of the cubic polynomial.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Now, Verify the relationship between zeros and coefficients

$\tt{ \alpha = 3 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \beta = - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \gamma = 1}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Sum of zeros

$\tt{\alpha + \beta + \gamma} \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - b}{a}}$

$\tt{3 + ( - 2) + 1} = \tt \purple{\frac{ - ( - 2)}{1}}$

$\tt{3 - 2 + 1} \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - ( - 2)}{1}}$

$\tt{1 + 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ 2}{1}}$

$\tt{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{2}$

$\tt{LHS } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{RHS}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\tt{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ c}{a}}$

$\tt{3( - 2) + ( - 2)(1) + (1)(3) }= \tt \purple{\frac{ - 5}{1}}$

$\tt{ - 6 - 2 + 3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - 5}{1}}$

$\tt{ - 8 + 3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - 5}{1}}$

$\tt{ - 5} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - 5}{1}}$

$\tt{LHS } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{RHS}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Product of zeros

$\tt{\alpha \beta \gamma } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{\frac{ - d}{a}}$

$\tt{(3) ( - 2) (1)}= \tt \purple{\frac{ - (6)}{1}}$

$\tt{ - 6} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{ - 6}$

$\tt{LHS } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \tt \purple{RHS}$