Question

Verify the following reduction formula:
$\displaystyle \int \sec^n(u)\, du=\frac{\sec^{n-2}(u)\tan(u)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}(u)\, du, \; n\neq 1$​

Answer 1

$\textbf{Given:}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du}$

$\textbf{To find:}$

$\textsf{Reduction formula for}\;\mathsf{\int\,sec^nu\;du}$

$\textbf{Solution:}$

$\textsf{Consider,}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du}$

$\textsf{We apply Integration by parts formula}$

$\boxed{\mathsf{\int\,m\,dn=mn-\int\,n\;dm}}$

$\mathsf{=\int\,sec^{n-2}u\,(sec^2u\,du)}$

$\mathsf{Take,}$

$\mathsf{m=sec^{n-2}u\;\implies\;dm=(n-2)\,sec^{n-3}u\;du}$

$\mathsf{dn=sec^u\,du\;\implies\;\int\,dn=\int\,sec^2u\,du\;\implies\;n=tanu}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-\int\,tanu\,(n-2)sec^{n-3}u\,(secu\,tanu)du}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-\int\,tanu\,(n-2)sec^{n-3}u(secu\,tanu)du}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-(n-2)\int\,tan^2u\,sec^{n-2}u\,du}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-(n-2)\int(sec^2u-1)\,sec^{n-2}u\,du}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-(n-2)\int(sec^nu-sec^{n-2}u)du}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du=sec^{n-2}u\,tanu-(n-2)\int\,sec^nu\,du+(n-2)\int\,sec^{n-2}udu}$

$\mathsf{\int\,sec^nu\;du+(n-2)\int\,sec^nu\,du=sec^{n-2}u\,tanu+(n-2)\int\,sec^{n-2}udu}$

$\mathsf{(n-1)\int\,sec^nu\,du=sec^{n-2}u\,tanu+(n-2)\int\,sec^{n-2}udu}$

$\implies\boxed{\mathsf{\int\,sec^nu\,du=\dfrac{sec^{n-2}u\,tanu}{n-1}+\dfrac{n-2}{n-1}\int\,sec^{n-2}udu}}$

$\textbf{Find more:}$