Question

verify x^3+y^3+z^3-3xyz=1/2(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]​

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

Answer 2

$\underline\mathfrak{Verify \: \: that:-}$

$\leadsto {x}^{3} \: + \: {y}^{3} \: + \: {z}^{3} \: - \: {3xyz} \: \: = \: \: \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{(x \: - \: y)}^{2} \: + \: {(y \: - \: z)}^{2} \: + \: {(z \: - \: x)}^{2}]}$

$\underline\mathfrak{RHS}$

$\leadsto \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{(x \: - \: y)}^{2} \: + \: {(y \: - \: z)}^{2} \: + \: {(z \: - \: x)}^{2}]}$

$\leadsto \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{({x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: - \: {2xy})} \: + \: {({y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {2yz})} \: + \: {({z}^{2} \: + \: {x}^{2} \: - \: {2xz})}]}$

$\leadsto \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{x}^{2} \: + \: {x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {2xy} \: - {2yz} \: - \: {2xz}]}$

$\leadsto \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{2x}^{2} \: + \: {2y}^{2} \: + \: {2z}^{2} \: - \: {2xy} \: - {2yz} \: - \: {2xz}]}$

$\leadsto \frac{1}{2} \: {(x \: + \: y \: + \: z)} \: \times \: {2} \: {[{x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {xy} \: - {yz} \: - \: {xz}]}$

$\leadsto {(x \: + \: y \: + \: z)} \: {[{x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {xy} \: - {yz} \: - \: {xz}]}$

$\leadsto {x} \: {({x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {xy} \: - {yz} \: - \: {xz})} \: + {y} \: {({x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {xy} \: - {yz} \: - \: {xz})} \: + \: {z} \: {({x}^{2} \: + \: {y}^{2} \: + \: {z}^{2} \: - \: {xy} \: - {yz} \: - \: {xz})}$

$\leadsto {x}^{3} \: + \: {x}{y}^{2} \: + \: {x}{z}^{2} \: - \: {x}^{2}{y} \: - {xyz} \: - \: {x}^{2}{z} \: + \: {x}^{2}{y} \: + \: {y}^{3} \: + \: {y}{z}^{2} \: - \: {x}{y}^{2} \: - \: {y}^{2}{z} \: - \: {xyz} \: + \: {x}^{2}{z} \: + \: {y}^{2}{z} \: + \: {z}^{3} \: - \: {xyz} \: - \: {y}^{2}{z} \: - \: {x}{z}^{2}$

$\leadsto {x}^{3} \: + \: {y}^{3} \: + \: {z}^{3} \: - \: {3xyz} \: + \: {x}{y}^{2} \: - \: {x}{y}^{2} \: + \: {x}{z}^{2} \: - \: {x}^{2}{y} \: + \: {x}^{2}{y} \: - \: {x}^{2}{z} \: + \: {x}^{2}{z} \: - \: {y}{z}^{2} \: - \: {y}{z}^{2}$

$\leadsto {x}^{3} \: + \: {y}^{3} \: + \: {z}^{3} \: - \: {3xyz}$

$\underline\mathfrak{LHS \: = \: RHS}$

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