Question

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Answer 1

${ \huge{{ \bold{ \underline{Solution : - }}}}}$

$Z\: = 1 \\ \\ let \: Z\: = \frac{1 + 7i}{(2 - i) ^{2} } \\ \\ { \large{Using}} \: (a - b)^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} - 2ab \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 + 7i}{2 ^{2} + (i)^{2} - 2 \times 2 \times i }$

$\large{Putting} \: {i}^{2} = - 1 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 + 7i}{4 + ( - 1) - 4i} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 + 7i}{4 - 1 - 4i} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 + 7i}{4 - 1 - 4i} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: = \frac{1 + 7i}{3 - 4i}$

Rationalizing The Same

$= \frac{1 + 7i}{3 - 4i} \times \frac{3 + 4i}{3 + 4i} \\ \\ = \frac{(1 + 7i) \: \: (3 + 4i)}{(3 - 4i) \: \: (3 - 4i)} \\ \\ = \frac{1(3 + 4i) + 7i(3 + 4i)}{(3 - 4i) \: \: (3 + 4i)}$

$= \frac{3 + 4i + 21i + 28i^{2} }{(3 - 4i) \: \: (3 + 4i)} \\ \\ = \frac{3 + 25i + 28i^{2} }{(3 - 4i) \: \: (3 + 4i)} \\ \\ Using \: (a - b) \: (a + b) \: = \: {a}^{2} - {b}^{2}$

$= \frac{3 + 25i + 28i^{2} }{(3)^{2} - (4i)^{2} } \\ \\ = \frac{3 + 25i + 28i ^{2} }{9 - 16i^{2} } \\ \\ Putting \: {i}^{2} \: = \: 1$

$= \frac{3 + 25i + 28( - 1)}{9 - 16( - 1)} \\ \\ = \frac{3 + 25i - 28}{9 + 16} \\ \\ = \frac{3 - 28 + 25i}{25}$

$= \frac{ - 25 + 25i}{25} \\ \\ = \frac{25( - 1 + i)}{25}$

$z \: = \: - 1 + i$

Hence, Z = -1 + I

Let polar form be

$- 1 + i \: = r \: \cosθ \: + i \: r \: \sinθ$

$comparing \: real \: part \: │comparing \: imaginary \: part \\ │ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ - 1 = r \: \cosθ│1 = r \: \sinθ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ Squaring \: Both \: Sides \: │ \: Squaring \: Both \: Sides \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ ( - 1) ^{2} = ( \: r \: \cosθ)^{2}│ (1)^{2} = (r \: \sinθ)^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Adding (3 ) and ( 4 )

$1 + 1 = {r}^{2} \cos^{2} θ \: + {r}^{2} \: \sin^{2} θ \\ \: \: \: \: 2 = {r}^{2} ( \cos^{2} θ \: + \sin^{2} θ) \\ 2 = {r}^{2} \times 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2 = {r}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sqrt{2} = r \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ r = \sqrt{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$Hence, \: \cosθ \: = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } \: \: and \: \sinθ \: = \frac{ 1}{ \sqrt{2} }$

Since ,

Sinθ is positive and cosθ is negative .

= Argument = 180° - 45°

= 135°

$= 135° \times \frac{\pi}{180°} \\ \\ = \frac{3\pi}{4} \\ \\ \large{ \bold{ \pink{Hence \: ,argument \: of \: z \: = \frac{3\pi}{4}}}}$