Question

what is the formula of 2sin inverse X

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{2\,sin^{-1}x}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\mathsf{Formula\;of\;2\,sin^{-1}x}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Let\;2\,sin^{-1}x=\theta}$----------(1)

$\implies\mathsf{sin^{-1}x=\dfrac{\theta}{2}}$

$\implies\mathsf{x=sin\dfrac{\theta}{2}}$

$\mathsf{cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{1-sin^2\dfrac{\theta}{2}}}$

$\mathsf{cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{1-x^2}}$

$\mathsf{Now,}$

$\mathsf{sin\theta=2\,sin\dfrac{\theta}{2}\;cos\dfrac{\theta}{2}}$

$\implies\mathsf{sin\theta=2\,x\,\sqrt{1-x^2}}$

$\implies\mathsf{\theta=sin^{-1}(2\,x\,\sqrt{1-x^2})}$

$\implies\boxed{\mathsf{2\,sin^{-1}x=sin^{-1}(2\,x\,\sqrt{1-x^2})}}\;\;\;\mathsf{(Using\;(1))}$

$\underline{\textbf{Identities used:}}$

$\boxed{\begin{minipage}{4cm} \\\\\;\;1.\;\mathrm{sin\,A=2\,sin\dfrac{A}{2}\,cos\dfrac{A}{2}}\\\\\;\;2.\;\mathrm{cos\,A=\sqrt{1-sin^2A}}\\\\ \end{minipage}}$