Write a persuasive argument regarding the following: Which do you feel merits the most attention from community policing: concerns about disorder, fear of crime, or crime itself?
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किसी अशून्य वर्ग मैट्रिक्स {\displaystyle A}{\displaystyle A} का अभिलाक्षणिक सदिश (आइगेन वेक्टर / eigenvector) {\displaystyle v}{\displaystyle v} वह अशून्य सदिश है जो निम्नलिखित विशेषता रखता है-
{\displaystyle Av=\lambda v}{\displaystyle Av=\lambda v}
जहाँ {\displaystyle \lambda }{\displaystyle \lambda } एक संख्या है। इसे {\displaystyle A}{\displaystyle A} का अभिलाक्षणिक मान (आइगेन मान / eigenvalue) कहा जाता है।{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}},}
के लिए सदिश
{\displaystyle v={\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}}{\displaystyle v={\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}}
अभिलाक्षणिक सदिश है जिसका अभिलाक्षणिक मान 2 है। क्योंकि,
{\displaystyle Av={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{bmatrix}}}{\displaystyle Av={\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 4+1\cdot (-4)\\1\cdot 4+3\cdot (-4)\end{bmatrix}}}
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}8\\-8\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}.}{\displaystyle ={\begin{bmatrix}8\\-8\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}4\\-4\end{bmatrix}}.}
लेकिन निम्नलिखित सदिश
{\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}{\displaystyle v={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}
अभिलाक्षणिक सदिश नहीं है क्योंकि
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}},}{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\cdot 0+1\cdot 1\\1\cdot 0+3\cdot 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}},}
तथा यह सदिश मूल सदिश {\displaystyle v}{\displaystyle v} का कोई गुणक (multiple) नहीं है।
दूसरा उदाहरण संपादित करें
मैट्रिक्स
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}},}{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}},}
हो तो,
{\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}=0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \quad }{\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}}=0\cdot {\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \quad }
{\displaystyle A{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad \quad }{\displaystyle A{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\\3\end{bmatrix}}=3\cdot {\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},\quad \quad } तथा
{\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}.}{\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\4\\0\end{bmatrix}}=2\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}}.}
अतः सदिश {\displaystyle [1,0,0]^{\top }}{\displaystyle [1,0,0]^{\top }}, {\displaystyle [0,0,1]^{\top }}{\displaystyle [0,0,1]^{\top }} और {\displaystyle [1,2,0]^{\top }}{\displaystyle [1,2,0]^{\top }} सदिश {\displaystyle A}{\displaystyle A} के अभिलाक्षणिक सदिश हैं तथा संगत अभिलाक्षणिक मान क्रमशः 0, 3 और 2 हैं। (यहाँ संकेत {\displaystyle {}^{\top }}{\displaystyle {}^{\top }} मैट्रिक्स के ट्रांसपोज का प्रतीक है।