Question

Write all the other trigonometric ratios of ∠ A in terms of sec A.

Answer 1

$\textbf \pink{\underline{\underline{Solution.}}}$

$\sf \red{\sin \: A} = \frac{1}{cosec \: A} = \frac{1}{ \sqrt{cosec {}^{2} } A}$

$\: \: \: \: \: \: \sf = \frac{1}{ \sqrt{1 + cot {}^{2} } A} = \frac{1}{{ \sqrt{1 + \frac{1}{tan {}^{2} \: A}}}}$

$\sf = \frac{1}{\sqrt{\frac{tan {}^{2} \: A \: + 1}{tan {}^{2} \: A}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{tan {}^{2} \: A + 1}{tan \: A}}}$

$\sf = \frac{tan \: A}{\sqrt{tan {}^{2} \: A + 1}} = \frac{tan \: A}{sec \: A}$

$\sf = \sqrt{\frac{tan { }^{2} \: A}{sec \: A}} = \sqrt{\frac{sec {}^{2} \: A - 1}{sec \: A}} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ...(1)$

$\sf sin \: A = \frac{sin \: A}{cos \: A}. \: cos \: A$

$\: \: \: \: \: \: \sf = tan \: A \: \frac{1}{sec \: A}$

$= \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \frac{tan \: A}{sec \: A} = \sqrt{ \frac{tan {}^{2} \: A}{sec \: A}} \:$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \sf = \sqrt{ \frac{sec {}^{2} \: A - 1}{sec \: A}}$

$\sf cos \: A = \frac{1}{sec \: A}$

$\sf tan = \sqrt{tan {}^{2} } = \sqrt{sec {}^{2} \: A - 1}$

$\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ...(2)$

$\sf cosec \: A = \frac{1}{sin \: A} = \sqrt{\frac{sec \: A}{sin {}^{2} \: A - 1}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf [ By \: (1)]$

$\sf cot \: A = \frac{1}{tan \: A} = \sqrt{\frac{1}{sec {}^{2} \: A - 1}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \ \: \: \: \: \: \: \: \: [By \: (2)]$

$<marquee > I Hope its helps you!$

$<marquee > Keep smiling ☺️.$

Answer 2

AnswEr :

$\:\:\:\bullet$ Ratios in terms of sec A

$\:\:\:\bullet$Also, it should be keep in mind that,if angle (i.e. A, B, C) is acute,then the value of ratio will be positive.

$\rule{100}2$

$\underline{\bigstar\:\textsf{According \: to \: question:}}$

$\large\star\:\bf{cos A :-}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ cos A \: = \: \frac{1}{secA }$

$\hookrightarrow{\underline{\boxed{\sf\green{cos A \: = \: \frac{1}{secA}}}}}$

$\large\star\:\bf{Tan A :-}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ Tan^2A \: = \: sec^2A - 1 \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ TanA \: = \: \sqrt{sec^2A - 1}$

$\hookrightarrow{\underline{\boxed{\sf\red{Tan A \: = \: \sqrt{sec^2A -1} }}}}$

$\large\star\:\bf{ Cot A :-}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ cot A \: = \: \frac{1}{TanA}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ cot A \: = \: \frac{1}{\sqrt{sec^2A -1} }$

$\hookrightarrow{\underline{\boxed{\sf\blue{cotA \: = \: \frac{1}{\sqrt{sec^2A - 1} } }}}}$

$\large\star\:\bf{Cosec A :-}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ 1 + cot^2A \: = \: cosec^2A$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ cosec^2A \: = 1 + (\frac{1}{\sqrt{sec^2A -1} } )^2 \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ cosec^2A = 1 + \frac{1}{sec^2A - 1} \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ cosec^2A \: = \: \frac{sec^2A \cancel{+1} \cancel{-1} }{sec^2A -1} \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ cosecA \: = \: \sqrt{ \frac{sec^2A}{sec^2A -1} }$

$\hookrightarrow{\underline{\boxed{\sf\orange{cosecA \: = \: \sqrt{ \frac{sec^2A }{sec^2A -1}} }}}}$

$\large\star\:\bf{sinA :-}$

$\normalsize\hookrightarrow\sf\ sinA \: = \: \frac{1}{cosecA} \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ sinA = \frac{1}{\sqrt{\frac{sec^2A}{sec^2A -1} } } \\ \\ \normalsize\hookrightarrow\sf\ sinA \: = \: \sqrt{\frac{sec^2A-1}{sec^2A} }$

$\hookrightarrow{\underline{\boxed{\sf\purple{sinA \: = \: \sqrt{\frac{sec^2A -1}{sec^2A} }}}}}$