X ^ 4 + 4 x minus 2 X square + X ^ 3 minus 10 by x minus 2
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दिखाए गए घन समीकरण जैसे समीकरणों को कैसे हल कर सकते हैं?
x 3 - x 2 - 4x + 4 = 0
घन समीकरणों को हल करने के लिए एक अत्यंत जटिल सूत्र है। कुछ कैलकुलेटरों में इस सूत्र का निर्माण किया गया है और इसलिए इसका उपयोग घन समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।
हम यह सीखने जा रहे हैं कि इन समीकरणों को किस तरह से हल किया जा सकता है। यदि समीकरण में समाधान हैं जो पूर्णांक a, b और c हैं तो हम समीकरण को निम्न प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं:
x 3 - x 2 - 4x + 4 = (x - a) (x - b) (x - c) = 0
ब्रैकेट्स को एक साथ गुणा करने पर हम देखते हैं कि निरंतर अवधि, 4, एक होने वाली संख्या होनी चाहिए जब हम एक, बी और सी को एक साथ गुणा करते हैं।
abc = 4
सभी समाधान a, b और c 4 के कारक होने चाहिए, इसलिए ऐसी कई सारी संख्याएँ नहीं हैं जिन पर हमें विचार करने की आवश्यकता है।
हमारे पास केवल निम्नलिखित संभावनाएँ हैं:
± 1, ± 2 और ± 4
हम इनमें से प्रत्येक संख्या की जांच करेंगे कि कौन से समीकरण के समाधान हैं।
f (1) = 1 3 - 1 2 - 4 × 1 + 4 = 0 1 एक समाधान है
f (31) = (−1) 3 - () 1 ) 2 - 4 × (−1) + 4 = 6
f (2) = 2 3 - 2 2 - 4 × 2 + 4 = 0 2 एक समाधान है
च (-2) = (-2) 3 - (-2) 2 - 4 × (-2) + 4 = 0 -2 है एक समाधान
हमें अब तीन समाधान मिल गए हैं, इसलिए हमें 4 और a4 को आज़माने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूबिक समीकरण में अधिकतम तीन समाधान हैं।
ये तीन संख्याएँ हमें a, b और c के मान देती हैं और हम समीकरण को स्पष्ट कर सकते हैं।
x 3 - x 2 - 4x + 4 = (x - 1) (x - 2) (x + 2) = 0
इस पद्धति में पूर्णांक हैं जो स्थिर अवधि के कारक हैं (इन्हें विभाजित किया जा सकता है) और फिर परीक्षण करना कि क्या ये पूर्णांक समीकरण के समाधान हैं।
दुर्भाग्य से हम यह नहीं मान सकते हैं कि थर्ड डिग्री समीकरण के समाधान सभी पूर्णांक हैं।
हालाँकि, यदि हम एक पूर्णांक समाधान पा सकते हैं, तो हम यह कहते हैं कि x = a, शेष प्रमेय द्वारा, हम जानते हैं कि (x - a) समीकरण का एक कारक है। हम एक और कारक, एक द्विघात कारक, विभाजन द्वारा पा सकते हैं। फिर हम द्विघात को हल करने के सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं।
उदाहरण 1
समीकरण x 3 - 3x 2 - 2x + 4 = 0 को हल करें
हम संख्याओं को समीकरण में 4 के कारकों को देखते हैं, यदि उनमें से कोई भी सही है।
f (1) = 1 3 - 3 × 1 2 - 2 × 1 + 4 = 0 1 एक समाधान है
f (31) = (−1) 3 - 3 × () 1 ) 2 - 2 × (41) + 4 = 2
f (2) = 2 3 - 3 × 2 2 - 2 × 2 + 4 = .4
f (32) = (−2) 3 - 3 × () 2 ) 2 - 2 × (42) + 4 = )12
f (4) = 4 3 - 3 × 4 2 - 2 × 4 + 4 = 12
f ( 34 ) = () 4 ) 3 - 3 × () 4 ) 2 - 2 × (44) + 4 = )100
एकमात्र पूर्णांक समाधान x = 1. है जब हमने एक समाधान पाया है तो हमें वास्तव में किसी अन्य संख्या का परीक्षण करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि हम अब समीकरण को x (1 - 1) से विभाजित करके हल कर सकते हैं और उस चतुष्कोणीय को हल करने का प्रयास कर सकते हैं जिसे हम प्राप्त करते हैं। विभाजन।
अब हम अपनी अभिव्यक्ति को निम्नानुसार कर सकते हैं:
x 3 - 3x 2 - 2x + 4 = (x - 1) (x 2 - 2x - 4) = 0
यह अब हमारे लिए द्विघात समीकरण को हल करने के लिए बना हुआ है।
x 2 - 2x - 4 = 0
हम एक = 1, b = c2 और c = formula4 के साथ चतुष्कोण के सूत्र का उपयोग करते हैं।
अब हमने समीकरण 3 के सभी तीन समाधानों को पाया है x 3 - 3x 2 - 2x + 4 = 0. वे हैं: eftirfarandi:
x = 1
x = 1 + Ö 5
x = 1 - Ö 5
उदाहरण 2
चौथी डिग्री के समीकरण या एक उच्चतर डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए हम आसानी से उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं। समीकरण f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0 को हल करें ।
सबसे पहले हम, निरंतर अवधि के पूर्णांक कारकों को खोजने 2. 2 के पूर्णांक कारक हैं ± 1 और ± 2।
f (1) = 1 4 - 1 3 - 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 एक समाधान है
f (41) = (−1) 4 - () 1 ) 3 - 5 × (−1) 2 + 3 × (31) + 2 = )4
f (2) = 2 4 - 2 3 - 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = .4
f ( 42 ) = (−2) 4 - () 2 ) 3 - 5 × (−2) 2 + 3 × (32) + 2 = 0 हमने एक दूसरा हल खोज लिया है।
जिन दो समाधानों को हमने 1 और mean2 में पाया है, उनका मतलब है कि हम x - 1 और x + 2 से विभाजित कर सकते हैं और कोई शेष नहीं रहेगा। हम इसे दो चरणों में करेंगे।
पहले x + 2 से विभाजित करें
अब परिणामी घन कारक को x - 1 से विभाजित करें।
अब हमने
f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 को
f (x) = (x + 2) (x - 1) (x 2 - 2x - 1) में कारक बना दिया है और यह केवल द्विघात समीकरण को हल करें
x 2 - 2x - 1 = 0. हम सूत्र का उपयोग = 1, b = c2 और c = −1 के साथ करते हैं।
अब हमें कुल चार समाधान मिल गए हैं। वो हैं:
x = 1
x = −2
x = 1 +
x = 1 -
कभी-कभी हम शर्तों को दो-दो से घटाकर और सामान्य रूप से एक कारक को खोजने के द्वारा एक तीसरे डिग्री समीकरण को हल कर सकते हैं। इसका एक उदाहरण देखते हैं।
उदाहरण 3।
समीकरण x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0 को हल करें
x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0
(x 3 - 2x 2 ) - (4x - 8) = 0
[ x २ (x - २) - ४ (x - २) ] = ०
(x - 2) [ x 2 - 4 ] = 0
(x - 2) (x - 2) (x + 2) = 0
यहां ब्रैकेट (x - 2) एक सामान्य कारक है और इसे एक सामान्य ब्रैकेट के बाहर ले जाया जा सकता है।
ध्यान दें कि ब्रैकेट (एक्स - 2) दो बार जब हम तब होती है ज एवेन्यू समाप्त factorising। x = 2 इसलिए एक दोहरा समाधान है और हमारे पास केवल दो अलग-अलग हैं। वे हैं:
x = 2 और x = = 2 ।
Lausnir: x = 2 ओग एक्स = -2 ।
अब तक हमने जिन उदाहरणों को देखा है वे सभी समीकरण हैं जहां उच्चतम शक्ति वाले शब्द का गुणांक 1 है।
हम उन समीकरणों से कैसे निपटेंगे जहां यह गुणांक कुछ अन्य संख्या है?