Question

x.
i
Find nth derivative of
x-1/x^2-4​

Answer 1

$\boxed{\mathsf{\dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(\dfrac{x-1}{x^{2}-4})=(-1)^{n}\:n!\:(x+2)^{-n-1}}}$

Step-by-step explanation:

Let, $\mathsf{y=\dfrac{x-1}{x^{2}-4}}$

Now, differentiating both sides with respect to $\mathsf{x}$, we get

$\quad \mathsf{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}(\dfrac{x-1}{x^{2}-4})}$

$\mathsf{=\dfrac{(x^{2}-4)\dfrac{d}{dx}(x-1)-(x-1)\dfrac{d}{dx}(x^{2}-4)}{(x^{2}-4)^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{(x^{2}-4).1-(x-1).2x}{(x^{2}-4)^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{x^{2}-4-2x^{2}+2x}{(x^{2}-4)^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{-x^{2}+2x-4}{(x^{2}-4)^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{-(x^{2}-2x+4)}{\{(x+2)(x-2)\}^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{-(x-2)^{2}}{(x+2)^{2}(x-2)^{2}}}$

$\mathsf{=\dfrac{-1}{(x+2)^{2}}}$

$\mathsf{=(-1)(x+2)^{-2}}$

$\mathsf{\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=(-1)(x+2)^{-2}}$

Continuing derivatives for higher orders with respect to $\mathsf{x}$, we obtain

$\quad\mathsf{\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=(-1)(-2)(x+2)^{-3}}$

$\quad\mathsf{\dfrac{d^{3}y}{dx^{3}}=(-1)(-2)(-3)(x+2)^{-4}}$

$\quad\mathsf{\dfrac{d^{4}y}{dx^{4}}=(-1)(-2)(-3)(-4)(x+2)^{-5}}$

$\quad\mathsf{\dfrac{d^{5}y}{dx^{5}}=(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)(x+2)^{-6}}$

... ... ...

... ... ...

$\quad\mathsf{\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}=(-1)(-2)(-3)...(-n)(x+2)^{-n-1}}$

$\mathsf{\Rightarrow \dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}=(-1)^{n}\:n!\:(x+2)^{-n-1}}$

$\mathsf{\Rightarrow \dfrac{d^{n}}{dx^{n}}(\dfrac{x-1}{x^{2}-4})=(-1)^{n}\:n!\:(x+2)^{-n-1}}$

This is the required $\mathsf{nth}$ derivative.