Question

(x sec2y - x2 cos y) dy = (tan y - 3x4) dx​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{(x\;sec^2y-x^2\;cos\,y)dy=(tan\,y-3x^4)dx}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Solution of the given differential equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{We apply variable separable method to solve}$

$\textsf{the given differential equation}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(x\;sec^2y-x^2\;cos\,y)dy=(tan\,y-3x^4)dx}$

$\textsf{This can be written as,}$

$\mathsf{x\;sec^2y\;dy-x^2\;cos\,y\;dy=tan\,y\;dx-3x^4\;dx}$

$\mathsf{x\;sec^2y\;dy-tan\,y\;dx=x^2\;cos\,y\;dy-3x^4\;dx}$

$\mathsf{x\;sec^2y\;dy-tan\,y\;dx=x^2(cos\,y\;dy-3x^2\;dx)}$

$\mathsf{\dfrac{x\;sec^2y\;dy-tan\,y\;dx}{x^2}=cos\,y\;dy-3x^2\;dx}$

$\mathsf{Using,}$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{d\left(\frac{u}{v}\right)}{dx}=\dfrac{v\;\dfrac{du}{dx}-u\;\dfrac{dv}{dx}}{v^2}}}$

$\mathsf{d\left(\dfrac{tan\,y}{x}\right)=cos\,y\;dy-3x^2\;dx}$

$\mathsf{Integrating,}$

$\displaystyle\int\mathsf{d\left(\dfrac{tan\,y}{x}\right)=\int\;cos\,y\;dy-\int\;3x^2\;dx}$

$\mathsf{\dfrac{tan\,y}{x}=sin\,y-3\left(\dfrac{x^3}{3}\right)+C}$

$\boxed{\mathsf{\dfrac{tan\,y}{x}=sin\,y-x^3+C}}$

$\textsf{which is the required solution}$