(X2+2x+1) (3x-5)+9x-10
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♤♤RULE♤♤
Let, f(x) be any polynomial. On division by g(x), if it gives quotient q(x) and remainder r(x), the relation is :
f(x) = g(x).q(x) + r(x)
♤♤SOLUTION♤♤
Here, we consider :
f(x) = 3x³ + x² + 2x + 5
q(x) = 3x - 5
r(x) = 9x + 10
Now, applying the relation f(x) = g(x).q(x) + r(x), we get :
(3x³ + x² + 2x + 5) = (3x - 5).g(x) + (9x + 10)
=> (3x - 5).g(x) = (3x³ + x² + 2x + 5) - (9x + 10)
=> (3x - 5).g(x) = (3x³ + x² - 7x - 5)
=> g(x) = (3x³ + x² - 7x - 5)/(3x - 5)
Now,
3x - 5)3 {x}^{3} + {x}^{2} - 7x - 5( {x}^{2} + 2x + 1 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 3 {x}^{3} - 5 {x}^{2} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - ..... + ..................... \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 6 {x}^{2} - 7x - 5 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 6 {x}^{2} - 10x \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - ...... + ........... \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 3x - 5 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 3x - 5 \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - .... + .. \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 0
Therefore,
g(x) = x² + 2x + 1
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