Question

(y-2x^3)dx - x(1-xy)dy=0

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{(y-2x^3)dx-x(1-xy)dy=0}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Solution of the differential equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{We apply Variable separable method to solve}$

$\textsf{the differential equation}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(y-2x^3)dx-x(1-xy)dy=0}$

$\textsf{This can be written as}$

$\mathsf{(y\,dx-2x^3\,dx-x\,dy+x^2ydy=0}$

$\mathsf{(y\,dx-x\,dy=2x^3\,dx-x^2ydy}$

$\mathsf{y\,dx-x\,dy=x^2(2x\,dx-ydy)}$

$\mathsf{\dfrac{y\,dx-x\,dy}{x^2}=2x\,dx-ydy}$

$\mathsf{\dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2}=ydy-2x\,dx}$

$\boxed{\begin{minipage}{4cm} \\\mathsf{Take,\;t=\dfrac{y}{x}}\\\\\mathsf{\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{x\,\dfrac{dy}{dx}-y.1}{x^2}}\\\\\mathsf{dt=\dfrac{x\,dy-y.dx}{x^2}}\\ \end{minipage}}$

$\mathsf{dt=ydy-2x\,dx}$

$\mathsf{Integrating,}$

$\mathsf{\displaystyle\int\,dt=\int\,y\,dy-2\int\,x\,dx}$

$\mathsf{t=\dfrac{y^2}{2}-2\left(\dfrac{x^2}{2}\right)+C}$

$\implies\boxed{\mathsf{\dfrac{y}{x}=\dfrac{y^2}{2}-x^2+C}}$

$\textsf{which is the required solution}$