Question

y''-2y'+3y=x*3+cosx​

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{y''-2y'+3y=x^3+cosx}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{Solution of the given differential equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\textsf{Characteristic equation is}$

$\mathsf{m^2-2m+3=0}$

$\mathsf{m^2-2m+1=-2}$

$\mathsf{(m-1)^2=2i^2}$

$\mathsf{m-1=\pm\,i\sqrt{2}}$

$\implies\mathsf{m=1\pm\,i\sqrt{2}}$

$\mathsf{Complementary\;function\;is}$

$\mathsf{e^{\alpha\,x}[A\;cos\,\beta\,x+B\;sin\,\beta\,x]}$

$\mathsf{e^{(1),x}[A\;cos\sqrt{2}\,x+B\;sin\sqrt{2}\,x]}$

$\underline{\mathsf{Partticular\;integral\;for\;x^3}}$

$\mathsf{Let\;P.I=ax^3+bx^2+cx+d}$

$\mathsf{But\;P.I=\dfrac{x^3}{D^2-2D+3}}$

$\implies\mathsf{ax^3+bx^2+cx+d=\dfrac{x^3}{D^2-2D+3}}$

$\implies\mathsf{(D^2-2D+3)(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3}$

$\implies\mathsf{D^2(ax^3+bx^2+cx+d)-2D(ax^3+bx^2+cx+d)+3(ax^3+bx^2+cx+d)=x^3}$

$\implies\mathsf{6ax+2b-2(3ax^2+2bx+c)+3ax^3+3bx^2+3cx+3d=x^3}$

$\implies\mathsf{6ax+2b-6ax^2-4bx-2c+3ax^3+3bx^2+3cx+3d=x^3}$

$\implies\mathsf{3ax^3+(-6a+3b)x^2+(6a-4b+3c)x+(2b-2c+3d)=x^3}$

$\textsf{Equating coefficients of like terms on bothsides, we get}$

$\mathsf{x^3\;term:\;3a=1\;\implies\;a=\dfrac{1}{3}}$

$\mathsf{x^2\;term:\;-6a+3b=0\;\implies\;-6\left(\dfrac{1}{3}\right)+3b=0}$

$\implies\mathsf{-2+3b=0\;\implies\;b=\dfrac{2}{3}}$

$\mathsf{x\;term:\;6a-4b+3c=0}$

$\implies\mathsf{6\left(\dfrac{1}{3}\right)-4\left(\dfrac{2}{3}\right)+3c=0}$

$\implies\mathsf{2-\dfrac{4}{3}+3c=0}$

$\implies\mathsf{\dfrac{6-4}{3}+3c=0}$

$\implies\mathsf{\dfrac{2}{3}+3c=0}$

$\implies\mathsf{c=\dfrac{-2}{9}}$

$\mathsf{Constant\;term:}$

$\mathsf{2\left(\dfrac{2}{3}\right)-2\left(\dfrac{-2}{9}\right)+3d=0}$

$\mathsf{\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{9}+3d=0}$

$\mathsf{\dfrac{12+4}{9}+3d=0}$

$\mathsf{\dfrac{16}{9}+3d=0}$

$\implies\mathsf{d=-\dfrac{16}{27}}$

$\therefore\mathsf{P.I=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{2}{9}x-\dfrac{16}{27}}$

$\mathsf{Particular\;integral\;for\;cosx:}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{cosx}{D^2-2D+3}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{cosx}{-1-2D+3}\;\;(D^2\implies\,-1)}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{cosx}{-2D+2}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{cosx}{-2(D-1)}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{-2\,cosx}{D-1}{\times}\dfrac{D+1}{D+1}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{(D+1)(-2\,cosx)}{D^2-1}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{D(-2\,cosx)-2\,cosx}{-1-1}\;\;(D^2\implies\,-1)}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{2\,sinx-2\,cosx}{-2}}$

$\mathsf{P.I=\dfrac{2(sinx-cosx)}{-2}}$

$\mathsf{P.I=-(sinx-cosx)}$

$\mathsf{P.I=cosx-sinx}$

$\therefore\mathsf{The\;general\;solution\;is}$

$\mathsf{y=C.F+P.I_1+P.I_2}$

$\boxed{\mathsf{y=e^{\alpha\,x}[A\;cos\,\beta\,x+B\;sin\,\beta\,x]+\left(\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{2}{3}x^2-\dfrac{2}{9}x-\dfrac{16}{27}\right)+cosx-sinx}}$

$\underline{\textbf{Find more:}}$

The complementary function of (D2 + 169)y = 0 isa. Acos 12x + Bsin 12x

b. A cos 13x + B sin 13x

C. A cos 15x + B sin 15x

Acos 25x + Bsin 25x

d​

https://brainly.in/question/36564867