Question

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा दर्शाइए कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक संख्या का घन 9qया, 9q+1या, 9q+8क रूप का
होता है, जहाँ एक पूर्णांक संख्या है।
नात्मक विषम पर्णांक संख्या को 64+1 या, 6q+3 या, 6q+5 के रूप में व्यक्त किया जा सकता
२.​

Answer 1

Answer:

1) माना a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a बड़ा है b से

तब:

a = bq + r;

जहाँ q और r धनात्मक पूर्णांक है 0 ≤ r < b.

b = 3, रखने पर हमें प्राप्त होता है

a = 3q + r ; जहाँ 0 ≤ r < 3.

⇒ a के अलग-अलग मान है 3q, 3q + 1 or 3q + 2.

3q का घन 3q = (3q)3

= 27q3 = 9(3q3) = 9q

जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 1 का घन 3q + 1 = (3q + 1)3

= (3q)3 + 3(3q)2 × 1 + 3(3q) × 12 + (1)3

[∵ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3]

= 27q3 + 27q2 + 9q + 1

= 9(3q3 + 3q2 + q) + 1

= 9q + 1; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 2 का घन 3q + 2 = (3q + 2)3

= (3q)3 + 3(3q)2 × 2 + 3 × 3q × 22 + 23

= 27q3 + 27q2 + 36q + 8

= 9(3q3 + 3q2 + 4q) + 8 = 9q + 8; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो 9q, 9q + 1 या 9q + 8 के रूप में होगाl

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