Question

यदि p और q क्रमश: मूल बिंदु से रेखाओं $\cos\theta - \sin\theta = k \cos2\theta$ और $x \sec\theta + y\,cosec\theta = k$ पर लंब की लंबाइयाँ हैं तो सिद्ध कीजिए कि $p^2 + 4q^2 = k^2$.

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

दी गई रेखाएं  

                 xcosθ - ysinθ  =  k cos2θ

तथा            xsecθ +  y cosecθ  =  k

मूल बिन्दु  ( 0,0 )  से रेखा    xcosθ - ysinθ  =  k cos2θ की दूरी  

                                         $=|\frac{kcos2\theta}{\sqrt{cos^2\theta+sin^2\theta} } |\\\\|kcos2\theta|\\\\=kcos2\theta\\=p$ ...(i)दिया है  

इसी प्रकार मूल बिन्दु  ( 0,0 )  से  xsecθ +  y cosecθ  =  k की दूरी  

                                   $=|\frac{k}{\sqrt{sec^2\theta+cosec^2\theta} } |\\\\=|\frac{k}{\sqrt{1/cos^2\theta+1/sin^2\theta} } |\\\\=|\frac{ksin\theta cos\theta}{\sqrt{sin^2\theta+cos^2\theta} } |\\\\|ksin\theta cos\theta|\\\\=ksin\theta cos\theta=q\\\\\frac{1}{2} k2sin\theta cos\theta=q\\\\ksin2\theta=2q.....(ii)$

दिया है।  

समीकरण  (i) व  (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर

$k^2=p^2+4q^2\\\\p^2+4q^2=k^2$