Question

यदि $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ तथा $B = \begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ हैं तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)’ = A’ + B’

Answer 1

Given :  A =   $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$    B = $\begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

To find :   सत्यापित कीजिए कि   (i) (A + B)’ = A’ + B’

Solution:

यदि  A  =   $\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}$ m * n

तो     A' =  $A^T$  = $\begin{bmatrix} a_{ji} \end{bmatrix}$ n * m

A =     $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

=>    A' =  $A^T$  =    $\begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$

B =  $\begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

B’ =  $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

A' + B'  =  $\begin{bmatrix} -1 & 5 & -2 \\ 2 & 7 & 1 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$  +  $\begin{bmatrix} -4 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

=> A' + B'  =  $\begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$  

A +  B  =  $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & 1 & 1 \end{bmatrix}$  +  $\begin{bmatrix} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

=> A +  B  =  $\begin{bmatrix} -5 & 3 & -2 \\ 6 & 9 & -5 \\ -1 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

(A + B) '  =  $\begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$  

A' + B'  =  $\begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$    = (A + B) '  =  $\begin{bmatrix} -5 & 6 & -1 \\ 3 & 9 & 4 \\ -2 & -5 & 2 \end{bmatrix}$  

=>  (A + B)’ = A’ + B’

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