Question

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, तो सिद्ध कीजिए कि $An = \begin{bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 - 2n & 1 \end{bmatrix}$ जहाँ n एक धन पूर्णाक है।

Answer 1

Given :   A =  $\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$   n एक धन पूर्णाक है

To find :   सिद्ध कीजिए कि Aⁿ =  $\begin{bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 - 2n \end{bmatrix}$

Solution:

Aⁿ = $\begin{bmatrix} 1 + 2n & -4n \\ n & 1 - 2n \end{bmatrix}$

n = 1

LHS = A

RHS =    $\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ 

LHS =  RHS

n = x

=>   Aˣ =      $\begin{bmatrix} 1 + 2x & -4x \\ x & 1 - 2x \end{bmatrix}$

n = x + 1

=> LHS = Aˣ⁺¹

RHS  =      $\begin{bmatrix} 1 + 2(x+1) & -4(x+1) \\ x+1 & 1 - 2(x+1) \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2x+3 & -4 x - 4 \\ x+1 & -2x - 1 \end{bmatrix}$

LHS = Aˣ⁺¹ = Aˣ . A

=   $\begin{bmatrix} 1 + 2x & -4x \\ x & 1 - 2x \end{bmatrix}$   $\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

=  $\begin{bmatrix} (1 + 2x)3 + (-4x)1 & (1 + 2x)(-4) + (-4x)(-1) \\ (x)3 + (1-2x)1 & ( x)(-4) + (1-2x)(-1) \end{bmatrix}$

=  $\begin{bmatrix} 2x+3 & -4 x - 4 \\ x+1 & -2x - 1 \end{bmatrix}$

=RHS

QED

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