Question

यदि $F(x)= \begin{bmatrix} cos x & -sin x & 0 \\ sin x & cosx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है तो सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y)

Answer 1

Given :  $F(x)= \begin{bmatrix} cos x & -sin x & 0 \\ sin x & cosx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

To find :   सिद्ध कीजिए कि F(x) F(y) = F(x + y)

Solution:

F(x) F(y) = F(x + y)

$F(x)= \begin{bmatrix} cos x & -sin x & 0 \\ sin x & cosx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$F(y)= \begin{bmatrix} cos y & -sin y & 0 \\ sin y & cosy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$F(x+y)= \begin{bmatrix} cos(x+ y) & -sin(x+ y) & 0 \\ sin(x+ y) & cos(x+y) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

LHS = F(x) F(y)

= $\begin{bmatrix} cos x & -sin x & 0 \\ sin x & cosx & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} cos y & -sin y & 0 \\ sin y & cosy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

=   $\begin{bmatrix} cosxcosy - sinxsiny + 0 & -cosxsiny -sinxcosy + 0 & 0+0+0 \\ sinxcosy + cosxsiny + 0 & -sinxsiny + cosxcosy +0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{bmatrix}$

cos(x + y) =cosxcosy - sinxsiny

sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny

= $\begin{bmatrix} cos(x +y) & -sin(x + y) & 0 \\ sin(x +y) & cos(x + y) & 0 \\ 0+0+0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

= F(x + y)

LHS = RHS

=>  F(x) F(y) = F(x + y)

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