Question

यदि $f(x) = \right \begin{cases} |x| + 1 , \,\,\,\,\,x \ \textless \ 0 \\\atop 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x = 0 \\\atop |x| - 1, \, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \ \textgreater \ 0 \end{cases}$ तो a के किन मानों के लिए $\lim_{x\rightarrow a} f(x)$ का अस्तित्व है ?

Answer 1

solve karna hai

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Answer 2

Answer:

Step-by-step explanation:

$f(x) = \right \begin{cases} |x| + 1 , \,\,\,\,\,x \  \textless \  0 \\\atop 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x = 0 \\\atop |x| - 1, \, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x \  \textgreater \  0 \end{cases}$

सबसे पहले हम यहाँ पर  x  = 0  के लिए सीमाएं ज्ञात करेंगे -

यहाँ  x  > 0 के लिए  

$R.H.L.=\lim_x\rightarrow_0^+f(x)\\\\=\lim_x\rightarrow_0^+|x|-1\\\\=|0|-1\\\\=-1$

तथा   x < 0  के लिए  L.H.L.  की सीमा  

                            $=\lim_x\rightarrow_0^-f(x)\\\\=\lim_x\rightarrow_0^-|x|+1\\\\=\lim_x\rightarrow_0^-(|0|+1)\\\\=0+1\\\\=1$

तब   $\lim_x\rightarrow_0^+f(x)\neq \lim_x\rightarrow_0^-f(x)$

अतः   x  =  0  पर फलन की सीमा का अस्तित्व नहीं है।  

अब हम   x  = a  के लिए सीमा ज्ञात करेंगे।  

जब  x > 0  के लिए   R.H.L.  का मान  

                               $=\lim_x\rightarrow_a^+f(x)\\\\=\lim_x\rightarrow_a^+|x|-1\\\\=\pm a-1\\\\=(a-1),-(a+1)$

पुनः   x < 0  के लिए  का मान  

                                $=\lim_x\rightarrow_a^-f(x)\\\\=\lim_x\rightarrow_a^-|x|+1\\\\=\pm a+1\\\\=(a+1),-a+1\\\\=(a+1),-(a-1)$

तब   $\lim_x\rightarrow_a^+f(x)=\lim_x\rightarrow_a^-f(x)$

अतः  a  =  0  के अतिरिक्त  a  के सभी मानो के लिए $\lim_x\rightarrow_af(x)$ का अस्तित्व है।