Ydi P(x) dwighat bahupat h to p(x) kya hoga
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Explanation:
किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध (Relationship between Zeroes and Coefficients of a Polynomial)
यदि
α
α
तथा
β
β
द्विघात बहुपद
p
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
p(x)=ax2+bx+c
,
a
≠
0
a≠0
के शून्यक हों, तो
x
−
α
x-α
और
x
−
β
x-β
,
p
(
x
)
p(x)
के गुणनखंड होते हैं।
अत:,
a
x
2
+
b
x
+
c
ax2+bx+c
=
k
(
x
−
α
)
(
x
−
β
)
=k(x-α)(x-β)
, जहाँ
k
k
एक अचर (constant) है।
=
k
[
x
2
(
α
+
β
)
x
+
α
β
]
=k[x2(α+β)x+αβ]
=
k
x
2
−
k
(
α
+
β
)
x
+
k
α
β
=kx2-k(α+β)x+kαβ
दोनों ओर के
x
2
,
x
x2,x
के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि
a
=
k
a=k
-------(i)
b
=
−
k
(
α
+
β
)
b=-k(α+β)
----------(ii)
c
=
k
α
β
c=kαβ
------(iii)
अब,
∵
b
=
−
k
(
α
+
β
)
b=-k(α+β)
∴
α
+
β
=
−
b
k
∴α+β=-bk
उक्त में समीकरण (i) से
k
=
a
k=a
प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
α
+
β
=
−
b
a
α+β=-ba
-------(iv)
अब,
∵
c
=
k
α
β
c=kαβ
∴
α
+
β
=
c
k
∴α+β=ck
उक्त में समीकरण (i) से
k
=
a
k=a
प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं कि
α
+
β
=
c
a
α+β=ca
---------(v)
अत: शून्यकों का योग (sum of zeroes)
=
α
+
β
=
=α+β=
तथा शून्यकों का गुणनफल (Product of zeroes)
=
α
β
=
c
a
=αβ=ca
=