Question

1/secA+tanA-1/cos A=1/cos A-1/secA-tanA-prove this​

Answer 1

Step-by-step explanation:

$\frac{1}{sec \: A + tan \: A} - \frac{1}{cos \: A} = \frac{1}{cos \: A} - \frac{1}{sec \: A - tan \: A}$

To prove this I am taking LHS first

$\frac{1}{ \frac{1}{cos \: A} + \frac{sin \: A}{cos \: A} } - \frac{1}{cos \: A} \\ \\ \\ \frac{1}{ \frac{1 + sin \: A}{cos \: A} } - \frac{1}{cos \: A} \\ \\ \\ \frac{cos \: A}{1 + sin \: A} - \frac{1}{cos \: A} \\ \\ take \: LCM \\ \\ \frac{ {cos}^{2} A - 1 - sin \: A}{cos \: A(1 + sin \: A)} \\ \\ \frac{ - {sin}^{2}A - sin \: A}{cos \: A(1 + sin \: A)} \\ \\ \frac{ - sin \: A(1 + sin \: A)}{(1 + sin \: A)cos \: A} \\ \\ = - tan \: A$

Take RHS now

$\frac{1}{cos \: A} - \frac{1}{sec \: A - tan \: A}$

$\frac{1}{cos \: A} - \frac{1}{ \frac{1}{cos \: A} - \frac{sin \: A}{cos \: A} } \\ \\ \\ \frac{1}{cos \: A} - \frac{1}{ \frac{1 - sin \: A}{cos \: A} } \\ \\ \\ \frac{1}{cos \: A} - \frac{cos \: A}{1 - sin \: A} \\ \\ take \: LCM\\ \\ \frac{ 1 - sin \: A - {cos}^{2} A }{cos \: A(1 - sin \: A)} \\ \\ \frac{ {sin}^{2}A - sin \: A}{cos \: A(1 - sin \: A)} \\ \\ \frac{sin \: A(sin \: A - 1)}{cos \: A(1 - sin \: A)} \\ \\ \frac{ - sin \: A(1 - sin \: A)}{(1 - sin \: A)cos \: A} \\ \\ = - tan \: A$

LHS = RHS

Hope it helps you

Answer 2

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \text{ \pink{ \: To \: Prove :- \: }}} \\ \\ \boxed{\bold{\frac{1}{secA + tanA} - \frac{1}{cosA} = \frac{1}{cosA} - \frac{1}{secA - tanA}}}$

$\tt{ \red{L.H.S. = \frac{1}{secA+tanA} - \frac{1}{cosA}} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \blue{= \frac{1 \times (secA - tanA)}{(secA+tanA)(secA - tanA)} - \frac{1}{cosA}}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \pink{ = \frac{secA - tanA}{sec {}^{2} A - tan {}^{2} A} - \frac{1}{cosA} }}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \green{= \frac{secA - tanA}{1} - \frac{1}{cosA} }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= secA - tanA - \frac{1}{cosA} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \purple{= secA - tanA - secA} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \red{ = secA - (tanA + secA ) }}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \purple{= secA - (secA + tanA)}}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= secA - \{ \frac{(secA + tanA)(secA - tanA)}{secA - tanA} \}}\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \green{= secA - (\frac{sec {}^{2} A - tan {}^{2} A}{secA - tanA} ) }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \pink{= secA - \frac{1}{secA - tanA}} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \blue{= \frac{1}{cosA} - \frac{1}{secA - tanA} }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ \red{=R.H.S. }}$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \sf{ \: Hence \: \: proved. \: }}$

$\star \: \: \: \underline{ \text{ \purple{ FORMULA \: USED} :- }} \\ \\ \bold{1. \: (secA + tanA)(secA - tanA) = sec {}^{2} A - tan {}^{2} A} \\ \\ \bold{2. \: sec {}^{2} A - tan {}^{2} A = 1} \\ \\ \bold{3. \: \frac{1}{cosA} = secA }$