Question

1. What must be subtracted from the polynomial x^4 - 5x^3 + x^2 + 17x -11 so that it is exactly divisible by (x2 - 3)
plz answer ne plz​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given polynomial is

$\rm :\longmapsto\: {x}^{4} - 5 {x}^{3} + {x}^{2} + 17x - 11$

and

Divisor polynomial is

$\rm :\longmapsto\: {x}^{2} - 3$

Using Long Division, we have

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{\underline{\sf{\:\: {x}^{2} - 5x + 4\:\:}}}\\ {\underline{\sf{ {x}^{2} - 3}}}& {\sf{\: {x }^{4} - 5{x}^{3} + {x}^{2} + 17x - 11 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{-  {x}^{4} \: \: \: \: \: \ \: \: + 3 {x}^{2}  \: \: \: \: \: \:   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - {5x}^{3} + 4{x}^{2} + 17x - 11  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{ \: \: 5{x}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \:   - 15x \:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  {4x}^{2} + 2x - 11  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - 4 {x}^{2} \: \: \: \: \: \: \: + 12\:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  2x \: + \: 1\:\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$

Since, it is to be

$\rm :\longmapsto\: {x}^{4} - 5 {x}^{3} + {x}^{2} + 17x - 11$

is exactly divisible by

$\rm :\longmapsto\: {x}^{2} - 3$

So, that remainder r(x) = 2x + 1 must be subtracted.

Verification :-

Now,

Dividend is

$\rm :\longmapsto\: {x}^{4} - 5 {x}^{3} + {x}^{2} + 15x - 12$

and

Divisor is

$\rm :\longmapsto\: {x}^{2} - 3$

So, using Long Division, we have

$\begin{gathered}\begin{gathered}\begin{gathered} \:\: \begin{array}{c|c} {\underline{\sf{}}}&{\underline{\sf{\:\: {x}^{2} - 5x + 4\:\:}}}\\ {\underline{\sf{ {x}^{2} - 3}}}& {\sf{\: {x }^{4} - 5{x}^{3} + {x}^{2} + 15x - 12 \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{-  {x}^{4} \: \: \: \: \: \ \: \: + 3 {x}^{2}  \: \: \: \: \: \:   \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \:\:}} \\ {{\sf{}}}& {\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - {5x}^{3} + 4{x}^{2} + 15x - 12  \:  \:  \:  \:   \:  \:  \:  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{ \: \: 5{x}^{3} \: \: \: \: \: \: \: \:   - 15x \:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  {4x}^{2} \: \: \: \: \: - 12  \:\:}} \\{\sf{}}& \underline{\sf{\: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  - 4 {x}^{2} \: \: \: \: + 12\:\:}} \\ {\underline{\sf{}}}& {\sf{\:\: \:  \: \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:0\:\:}}  \end{array}\end{gathered}\end{gathered}\end{gathered}$

Hence, Verified