Question

13. Find the inverse of the matrix 3 -1 -4 2 using elemantry method

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Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given matrix is

$\rm :\longmapsto\:A = \begin{bmatrix} 3 & - 1\\ - 4 & 2\end{bmatrix}$

Using Elementary Row Transformation Method,

$\rm :\longmapsto\:A = IA$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} 3 & - 1\\ - 4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}A$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{ \sf{ \:OP \: R_1 \: \to \: R_1 + R_2 }}}$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} - 1 & 1\\ - 4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}A$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{ \sf{ \:OP \: R_1 \: \to \: - \: R_1 }}}$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} 1 & - 1\\ - 4 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 & - 1\\ 0 & 1\end{bmatrix}A$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{ \sf{ \:OP \: R_2 \: \to \: 4R_1 + R_2 }}}$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} 1 & - 1\\ 0 & - 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 & - 1\\ - 4 & - 3\end{bmatrix}A$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{ \sf{ \:OP \: R_2 \: \to \: - \: \dfrac{1}{2} R_2 }}}$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} 1 & - 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 1 & - 1\\ \\ 2 & \dfrac{3}{2} \end{bmatrix}A$

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{ \boxed{ \sf{ \:OP \: R_1 \: \to \: R_1 + R_2 }}}$

$\rm :\longmapsto\:\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ \\ 2 & \dfrac{3}{2} \end{bmatrix}A$

We know,

$\red{ \boxed{ \rm :\longmapsto\:\rm{ \: {AA}^{ - 1} = I}}}$

So, on comparing with this, we get

$\rm :\longmapsto\: {A}^{ - 1} = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} \\ \\ 2 & \dfrac{3}{2} \end{bmatrix}$

Additional Information :-

$\red{ \boxed{ \sf{ {AA}^{ - 1} = {A}^{ - 1}A \: } = \: I}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ A \: (adjA)\: = \: (adjA) \: A \: = \: |A|I}}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ |adj \:A | \: = \: { |A| }^{n - 1} }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ | {A}^{ - 1} | = \frac{1}{ |A| } \: }}}$