Question

2 –1/3 x < x/2 + 4x < 12 + 3x , x€r​

Answer 1

$\large\underline{\sf{Solution-}}$

Given inequality is

$\rm :\longmapsto\:2 - \dfrac{1}{3}x < \dfrac{x}{2} + 4x < 12 + 3x$

Consider,

$\rm :\longmapsto\:2 - \dfrac{1}{3}x < \dfrac{x}{2} + 4x$

$\rm :\longmapsto \: \dfrac{6 - x}{3} < \dfrac{x + 8x}{2}$

$\rm :\longmapsto \: \dfrac{6 - x}{3} < \dfrac{9x}{2}$

$\rm :\longmapsto\:2(6 -x) < 3(9x)$

$\rm :\longmapsto\:12 - 2x < 27x$

$\rm :\longmapsto\: - 2x - 27x < - 12$

$\rm :\longmapsto\: - 29x < - 12$

$\rm :\longmapsto\:x > \dfrac{12}{29} - - - (1)$

Consider,

$\rm :\longmapsto\: \dfrac{x}{2} + 4x < 12 + 3x$

$\rm :\longmapsto\: \dfrac{x + 8x}{2} < 12 + 3x$

$\rm :\longmapsto\: \dfrac{9x}{2} < 12 + 3x$

$\rm :\longmapsto\:9x < 24 + 6x$

$\rm :\longmapsto\:9x - 6x < 24$

$\rm :\longmapsto\:3x < 24$

$\rm :\longmapsto\:x < 8 - - - (2)$

From (1) and (2), we concluded that

$\rm :\longmapsto\:\dfrac{12}{29} < x < 8$

$\bf\implies \:x \: \in \: \bigg(\dfrac{12}{29}, \: 8\bigg)$

Additional Information :-

$\red{ \boxed{ \sf{ \:x > y \: \implies \: - x < - y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \:x < y \: \implies \: - x > - y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \:x \leqslant y \: \implies \: - x \geqslant - y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \:x \geqslant y \: \implies \: - x \leqslant - y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \: |x| < y \: \implies \: - y < x < y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \: |x| \leqslant y \: \implies \: - y \leqslant x \leqslant y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \: |x| > y \: \implies \: x < - y \: or \: x > y }}}$

$\red{ \boxed{ \sf{ \: |x| > y \: \implies \: x \leqslant - y \: or \: x \geqslant y }}}$