4cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है की रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है ) की लंबाई क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं ( देखिए आकृति 10.14) | भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए |
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Answer:
AB = 15 cm और CA = 13 cm
Step-by-step explanation:
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC खींचा गया है । त्रिभुज की भुजाएं BC,CA,AB वृत्त को क्रमशः बिंदुओं D,E तथा F पर स्पर्श करती है।
फिर बिन्दु O को C , O को E तथा O को से मिलाया गया।
मान लिया कि, AF = AE = x cm
CF = CD = 6cm
BE = BD = 8cm
[वाह्य बिंदु से वृत पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है]
∆ABC में,
AB = AE + EB = (x + 8) cm
BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 cm
CA = CF + FA = (6 + x) cm
S = (AB + BC + CA)/2
S = (x + 8 + 14 + 6 + x)/2
= ( 28 + 2x)/2
S = (14 + x) cm
ΔABC का क्षेत्रफल = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}
= √[(14 + x){14 + x - 14}{(14 + x) – (6 + x)} {(14 + x) – (8 + x)}]
= √[(14 + x){14 + x - 14}{(14 + x – 6 - x)} {(14 + x – 8 - x)}]
= √[(14 + x) × x × 8 × 6]
= √[(14 + x) × 48x]
= √672x + 48x²
ΔABC का क्षेत्रफल = √48x² + 672x cm²
ΔOBC का क्षेत्रफल = 1/2 × OD × BC
= 1/2 × 4 ×14
ΔOBC का क्षेत्रफल = 28 cm²
ΔOCA का क्षेत्रफल = 1/2 × OF × AC
= 1/2 × 4 × (6 + x)
= 2 × (6 + x)
ΔOCA का क्षेत्रफल = (12 + 2x) cm²
ΔOAB का क्षेत्रफल= 1/2 × OE × AB
= 1/2 × 4 × (8 + x)
= 2 × (8 + x)
ΔOAB का क्षेत्रफल = (16 + 2x) cm²
अब, ∆ABC का क्षेत्रफल = ∆OBC का क्षेत्रफल + ∆OCA का क्षेत्रफल + ΔOAB का क्षेत्रफल
√48x² + 672x = 28 + (12 + 2x) + (16 + 2x)
√48x² + 672x = 56 + 4x
√48x² + 672x = 4(14 + x)
दोनों और वर्ग करने पर,
48x² + 672x = 4²(14 + x)²
48x(x + 14) = 16(x + 14)²
48x/16 = (x + 14)²)/(x + 14)
3x = (x + 14)
3x - x = 14
2x = 14
x = 14/2
x = 7
अतः, AB = (x + 8) = 7 + 8 = 15 cm और CA = (6 + x) = 6 + 7 = 13 cm
अतः, AB = 15 cm और CA = 13 cm
आशा है कि यह उत्तर आपकी अवश्य मदद करेगा।।।।
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