Question

602 க்கும்902க்கும் இடையே 4ஆல் வகுபடாத இயல் எண்களின் கூடுதல் கா

Answer 1

இயல் எண் (natural number) என்பது முதல் வரிசை நேர்ம முழு எண்கள் (1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும், எதிர்ம எண் அல்லாத முழு எண்கள் வரிசை (0, 1, 2, 3, 4, ...) ஆகவும் வரையறுக்கப்படுகின்றது. அதாவது, இயலெண் குறித்த சில வரையறைகள்[1] இயலெண்களை 0 இலிருந்து தொடங்குகின்றன. இவ்வரையறைகளில் இயலெண்கள் எதிர்மமில்லா முழு எண்களோடு ஒத்ததாக அமைகின்றன (0, 1, 2, 3, …). மேலும், இயலெண்கள் 1 இலிருந்து துவங்குவதாகக் கொள்ளும் வரையறைகளில் இயலெண்கள் நேர்ம முழுவெண்களை ஒத்து அமைகின்றன (1, 2, 3, …).[2][3][4][5] முந்தைய வரைவிலக்கணம் எண் கோட்பாட்டிலும், பிந்தையது கணக் கோட்பாட்டிலும் கணினி அறிவியலிலும் விரும்பப்படுகிறது.

இயல் எண்களின் கணத்தை {\displaystyle \mathbb {N} }{\displaystyle \mathbb {N} } என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது

{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}}{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,...\}}.

இயல் எண்களுக்கு இரண்டு இயல்பான பயன்கள் உள்ளன. பொருட்களை எண்ணப் பயன்படுத்தலாம் (எ-கா:தட்டில் 4 மாம்பழங்கள் உள்ளன). மேலும் எண்ணிக்கை அளவில் எத்தனையாவது என்று வரிசைமுறைமையைக் காட்டலாம் (எ-கா:சென்னை இந்தியாவிலேயே 4 ஆவது பெரிய நகரம்). எண்ணுதலின் போது இயலெண்கள் "முதலெண் அல்லது கார்டினல் எண்"கள் முதலெண்கள் எனவும், வரிசையைக் குறிக்கும்போது அவை "வரிசை எண் அல்லது ஆர்டினல் எண்"கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.

எண் கோட்பாட்டுத் துறையில், இந்த இயல் எண்களின் வகு நிலை வகு படா நிலை என்பதைக் குறிக்கும் வகுமைப் பண்புகள் பற்றியும், பகா எண்கள் எப்படி விரவி உள்ளன என்பது பற்றியும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றது.

இயலெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் நீட்சியாக ஏனைய எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (n) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−n) சேர்த்தால் முழு எண்களின் கணம் பெறப்படுகிறது; *இயலெண்களோடு முற்றொருமை உறுப்பு 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (n) கூட்டல் நேர்மாறுகளையும் (−n), ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற இயல் எண்ணின் பெருக்கல் நேர்மாறுகளையும் (1/n) சேர்க்க விகிதமுறு எண்கள் பெறப்படுகின்றன.

இவற்றுடன் விகிதமுறா எண்கள் சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.

மெய்யெண்களோடு -1 இன் வர்க்கமூலம் சேர்க்கப்படுபோது சிக்கலெண்கள் பெறப்படுகின்றன.[6][7]

இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.

Answer 2

602க்கும் 902க்கும் இடையே 4ஆல் வகுபடாத இயல் எண்களின் கூடுதல் $168448$.

விளக்கம்:

602 க்கும் 902 க்கும் இடையே உள்ள இயல் எண்கள்

603,604,......901

$a=603,l=901, d=604-603 = 1$

$n=\frac{l-a}{d}+1$

$=\frac{901-603}{1}+1$

$=298+1=299$

$n=299$

$S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$

$S_{299}=\frac{299}{2}[603+901]$

$S_{299}=\frac{299}{2} \times 1504$

$S_{299}=224848$.....(1)

602 க்கும் 902 க்கும் இடையே உள்ள 4ஆல் வகுபடகூடிய இயல் எண்கள்

$604,608,612, \ldots \ldots . .900$

$a=604, d=608-604=4, d= 900$

$n=\frac{l-a}{d}+1$

$=\frac{900-604}{4}+1$

$=\frac{296}{4}+1=74+1$

$n=75$

$S_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$

$S_{75}=\frac{75}{2}[604+900]$

$=75 \times 752$

$S_{75}=56400$........(2)

சமன்பாடு (1),(2)லிருந்து

$S_{299}=224848$

$\mathrm{S}_{75}=56400$

(1) - (2)

$\mathrm{S}_{299}-\mathrm{S}_{75}$

$224848-56400$

= $168448$

602 க்கும்902க்கும் இடையே 4ஆல் வகுபடாத இயல் எண்களின் கூடுதல் $168448$.