Question

आकृति 6.38 में, $\bigtriangleup ABC$ शीर्षलंब AD and CE परस्पर बिन्दु P प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए किः
(i) $\bigtriangleup AEP \sim \bigtriangleup CDP$
(ii) $\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup CBE$
(iii) $\bigtriangleup AEP \sim \bigtriangleup ADB$
(iv) $\bigtriangleup PDC \sim \bigtriangleup BEC$

Answer 1

1. ΔAEP और ΔCDP में

हम जानते हैं कि सी रेखा पर बना लंबा 90 अंश का होता है

अतः ㄥAEP = ㄥCDP. ( 90°)

$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$ ㄥAPE = ㄥCPD.

•°• $\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$ ΔAEP$\~$ ΔCDP.

2. $\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$ ΔCBE और Δ ABD में

ㄥCBE = ㄥABD. ( उभयनिष्ठ कोण है
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
ㄥCEB. = ㄥADB. (90°)
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
•°• ΔCBE $\~$ ΔABD.
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
3. ΔAEP. और ΔADB. में
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
ㄥPAE = ㄥDAB. ( उभयनिष्ठ कोण है)
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
ㄥAEP. = ㄥADB. (90°)
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
•°• ΔAEP $\~$ ΔADB
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
4. ΔPDC और Δ BEC में
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
ㄥPCD = ㄥBCE. ( उभयनिष्ठ कोण है)
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
ㄥPDC = ㄥBEC. (90°)
$\bold{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:}$
•°• ΔPDC $\~$ ΔBEC

Answer 2

(i) ∆AEP तथा ∆CDP में,

∠AEP = ∠CDP [चूँकि दोनों कोण 90°  हैं ]

तथा, ∠APE = ∠CPD [चूँकि उर्ध्वाकार सम्मुख कोण बराबर होते हैं ]

अत: A-A (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर,

$\bigtriangleup AEP \sim \bigtriangleup CDP$

(ii) ∆ABD तथा ∆CBE में,

∠ADB = ∠CEB  [चित्र को ध्यान से देखें, दोनों कोण अलग अलग 90° के बराबर हैं।]

तथा, ∠B उभयनिष्ठ है।

अत: A - A (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर,

$\bigtriangleup ABD \sim \bigtriangleup CBE$

(iii)∆AEP तथा ∆ADB में,

∠AEP = ∠ADB [ चित्र को ध्यान से देखें, दोनो कोण  90° के बराबर हैं। ]

∠A उभयनिष्ठ हैं , अर्थात ∠PAE =  ∠DAB

अत: AA (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर,

$\bigtriangleup AEP \sim \bigtriangleup ADB$

(iv) PDC तथा △ BEC में,

∠PDC = ∠BEC[चित्र को ध्यान से देखें, प्रत्येक कोण 90° के बराबर है।]

∠PCD=∠CEB [दोनों कोण उभयनिष्ठ हैं ]

अत: A-A (कोण-कोण) समरूपता कसौटी के आधार पर,

$\bigtriangleup PDC \sim \bigtriangleup BEC$.