Question

आकृति 6.54 में $\bigtriangleup ABC$ अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा $OD \bot BC$, $OE\bot AC$ और $OF \bot AB$ है।दर्शाइए कि
(i) $OA^2+ OB^2+ OC^2-OD^2 - OE^2-OF^2 = AF^2 + BD^2 + CE^2$
(ii) $AF^2 + BD^2 + CE^2 = AE^2 + CD^2 + BF^2$

Answer 1

(i) माना कि ABC एक त्रिभुज है जिसके अभ्यंतर में स्थित बिंदु O है , अब OA, OC तथा OB को इस प्रकार मिलाया गया कि $OD \bot BC$, $OE\bot AC$ और $OF \bot AB$.

अब समकोण त्रिभुज AFO में,

पायथागोरस प्रमेय से, OA² = AF² + OF²

⇒ AF² = OA² – OF² --------- (i)

इसी प्रकार, समकोण त्रिभुज OCE में,

OC² = CE² + OE²

⇒ CE² = OC² – OE² -----------(ii)

तथा, समकोण त्रिभुज BDO में,

OB² = OD² + BD²

⇒ BD² = OB² – OD² -----------(iii)

अब समीकरण (i), (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर

AF²+ BD² +CE²

= (OA² – OF ²) + (OC² – OE²) + (OB² – OD²)

= OA²  +OB² + OC²  – OD² – OE²  – OF² ---------(iv)



(ii) AF² +BD² +CE²  = AE² + CD² + BF²

अब चूंकि समीकरण (iv) के अनुसार दिया गया है कि,

AF² +BD²+CE² = OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF²

= (OA² – OE²) + (OC² – OD²)+ (OB² – OF²)

अब, समकोण त्रिभुज AEO, DCO, BFO से,
AE² = OA² - OE² ,
CD² = OC² - OD²,
BF² = OB² - OF² ,

अतः, AF² +BD²+CE²  = AE2 + CD2 + BF2