Question

आकृति 9.16 में, P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु हैं। दर्शाइए कि
(i) $ar(APB) + ar(PCD) = \frac{1}{2} ar(ABCD)$
(ii) $ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)$
[संकेत: P से होकर AB के समांतर एक रेखा खींचिए।]

Answer 1

Answer:

Step-by-step explanation:

दिया है :  

P समांतर चतुर्भुज ABCD के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु हैं

So, AB || CD & AD || BC

 

सिद्ध करना है :  

(i) ar (APB) + ar (PCD) = ar (ABCD)  

(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD)  

 

उपपत्ति :    

(i)

P से होकर AB के समांतर GH खींचते हैं।

∴ AB || GH (रचना के द्वारा) — (i)

तथा

AD || BC ⇒ AG || BH — (ii)

समी (i) तथा (ii) से,  

अतः ABHG एक समांतर चतुर्भुज है।

 

समांतर चतुर्भुज ABHG तथा  ∆APB समान आधार AB तथा समान समांतर रेखाओं AB तथा GH के मध्य स्थित है।

ar (∆APB) = 1/2 ar(ABHG).........(iii)

 

 

इसी प्रकार, समांतर चतुर्भुज CDGH तथा  ∆PCD समान आधार CD तथा समान समांतर रेखाओं CD तथा GH के मध्य स्थित है।

ar (∆PCD) = 1/2 ar(CDGH).........(iv)

 

समी (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,  

ar(ΔAPB) + ar(ΔPCD) = 1/2 {ar(ABHG) + ar(CDGH)}

ar(APB) + ar(PCD) = 1/2 ar(ABCD)

 

 

(ii)

हम एक रेखा EF  खींचते हैं जो P से होकर जाती है तथा AD के समांतर है।  

∴ AD || EF (रचना के द्वारा) — (i)

तथा  

AB || CD ⇒ AE || DF — (ii)

समी (i) तथा (ii) से,  

अतः AEDF एक समांतर चतुर्भुज है।

अब,  

समांतर चतुर्भुज AEFD तथा  ∆APD समान आधार AD तथा समान समांतर रेखाओं AD तथा EF के मध्य स्थित है।

∴ ar(ΔAPD) = 1/2 ar(AEFD) — (iii)

 

तथा  

समांतर चतुर्भुज BCFE तथा  ∆PBC समान आधार BC तथा समान समांतर रेखाओं BC तथा EF के मध्य स्थित है।

∴ ar(ΔPBC) = 1/2 ar(BCFE) — (iv)

 

समी (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,  

ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) = 1/2 {ar(AEFD) + ar(BCFE)}

ar(ΔAPD) + ar(ΔPBC) =1/2 ar(ABCD)

ar(APD) + ar(PBC) = ar(APB) + ar(PCD)  [भाग( i) से]

इति सिद्धम

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

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