Question

आकृति 9.25 में, चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु 0 पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OB = OD$ है। यदि $AB = CD$ है, तो । दर्शाइए कि
(i) $ar(DOC) = ar(AOB)$
(ii) $ar(ABC) = ar(ABD)$
(iii) $DA \parallel CB$ या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
[संकेत:D और B से AC पर लम्ब खींचिए।]

Answer 1

Answer:  Step-by-step explanation:

प्रश्न के भाग 2 में गलती है : हमें सिद्ध करना है  (ii) ar (DCB) = ar (ACB)

दिया है :  

चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि  OB = OD हैं।

सिद्ध करना है :  

(i) ar (DOC) = ar (AOB)  

(ii) ar (DCB) = ar (ACB)  

(iii) DA || CB  या ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

 

रचना :  

D और B से AC पर लम्ब खींचते हैं।

DE ⊥ AC  तथा  BF ⊥ AC  

 

उपपत्ति :

(i) ΔDOE तथा ΔBOF में,  

∠DEO = ∠BFO (प्रत्येक कोण 90° है)

∠DOE = ∠BOF (शीर्षाभिमुख कोण)

OD = OB   (दिया है)

∴ ΔDOE ≅ ΔBOF  (AAS सर्वांगसमता नियम द्वारा)

तब , DE = BF (CPCT द्वारा) — (i)

साथ ही , ar(ΔDOE) = ar(ΔBOF) ........(ii)

(दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।)

 

अब,

ΔDEC तथा ΔBFA में,  

∠DEC = ∠BFA (प्रत्येक कोण 90° है)

CD = AB (दिया है)

DE = BF (भाग (i) से)

∴ ΔDEC ≅ ΔBFA  (RHS सर्वांगसमता नियम द्वारा)

तब , ar(ΔDEC) = ar(ΔBFA) ........(iii)

(दो सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है।)

 

समी  (ii) तथा (iii) को जोड़ने पर ,

ar(ΔDOE) + ar(ΔDEC) = ar(ΔBOF) + ar(ΔBFA)

अतः  ar (DOC) = ar (AOB)

 

(ii) ar(ΔDOC) = ar(ΔAOB)

∴ ar(ΔDOC) + ar(ΔOCB) = ar(ΔAOB) + ar(ΔOCB)    

(दोनों पक्षों में ar(ΔOCB) जोड़ने पर)

⇒ ar(ΔDCB) = ar(ΔACB)  

 

(iii)

चूंकि, (ΔDCB) तथा (ΔACB) समान क्षेत्रफल तथा समान आधार रखते हैं। अतः  

(ΔDCB) तथा (ΔACB) समान समांतर रेखाओं के मध्य स्थित होंगे।

∴ DA || BC — (iv)

∠FBO = ∠EDO.....(v)

(ΔDOE ≅ ΔBOF )

∠FBA =∠EDC.....(vi)

(ΔDEC ≅ ΔBFA )

समी (v) तथा (vi) को जोड़ने पर

∠FBO + ∠FBA = ∠EDO + ∠EDC

अतः ∠ABD = ∠CDB

∴ DC || AB

अतः ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।

 

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