ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु है। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
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Answer:
Step-by-step explanation:
दिया है :
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं।
∴ AP = BP , BQ = CQ , CR = DR तथा AS = DS
सिद्ध करना है :
PQRS एक आयत है।
उपपत्ति :
△ADC में, दिया है
S भुजा AD का मध्य बिंदु है तथा R भुजा DC का मध्य बिंदु है।
हम जानते हैं कि किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिंदु को मिलाने वाले रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।
∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,
SR || AC तथा SR = ½ AC........(i)
इसी प्रकार , △ABC में,
P भुजा AB का मध्य बिंदु है तथा Q भुजा BC का मध्य बिंदु है।
∴ मध्य बिंदु प्रमेय से,
PQ || AC तथा PQ= 1/2AC........(ii)
अब समी (i) तथा (ii) से
PQ = SR तथा PQ || SRC= 1/2AC
∴ PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
अब हम जानते हैं कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
∴ ∠EOF = 90°
अब , RQ || BD (मध्य बिंदु प्रमेय से)
⇒RE || OF
SR || AC (समी (i) से)
⇒FR || OE
∴ OERF एक समांतर चतुर्भुज है।
इसलिए , ∠ERF = ∠EOF = 90°
[∵ चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
इस प्रकार PQRS एक समांतर चतुर्भुज है, जिसमें ∠R = 90°
अतः PQRS एक आयत है।
आशा है कि यह उत्तर आपकी मदद करेगा।।।।
इस पाठ से संबंधित कुछ और प्रश्न :
ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। (देखिए आकृति 8.29)I AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) और है।
(ii) है।
(iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है।
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ABCD एक समलंब है, जिसमें और है (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि
(i)
(ii)
(iii)
(iv) विकर्ण AC=विकर्ण BD है।
[संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]
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Answer:
pqrs ak samatar chturbhuj