Question

ABCD is a rectangle P and Q are points sides AD and AB respectively .Show that APOQ is a rectangle and find the ar(APOQ):ar(ABCD) when it is given that BR =1÷4 BC and DS=1÷4 CD

Answer 1

 fig in attachment

Given: In rectangle ABCD, P,Q,R and S are points on sides AD,AB,BC and CD, respectively such that AQ=14AB, AP=14ADBR=14BC and DS=14CDTo prove:(1) APOQ is a rectangle(2) ar(APOQ):ar(ABCD)=?Proof:(1) As, AB∥CD and AB=CD           (Opposite sides of rectangle ABCD)⇒AQ∥DS and AQ=DS                   [14AB=14CD, given]But this is a pair of opposite sides of quadrilateral ADSQSo, ADSQ is a parallelogram⇒AD∥QS            (Opposite sides of parallelogram ADSQ)⇒AP∥QO    .....(i)Also, AD∥BC and AD=BC          (Opposite sides of rectangle ABCD)⇒AP∥BR and AP=BR                 [14AD=14BC, given]But this is a pair of opposite sides of quadrilateral APRBSo, APRB is a parallelogram⇒AB∥PR                    (Opposite sides of parallelogram ADSQ)⇒AQ∥PO    .....(ii)From (i) and (ii),APOQ is a parallelogramSince, ∠A=90°        (Each angle of rectangle is 90°)but this is an angle of parallelogram APOQHence, APOQ is a rectangle(2)ar(APOQ)=AQ×AP=14AB×14AD=116(AB×AD)=116ar(ABCD)⇒ar(APOQ)ar(ABCD)=116∴ ar(APOQ):ar(ABCD)=1:16