Question

अनुपातों $\frac{a_{1}} {a_{2}}$ ,$\frac{b_{1}}{b_{2}}$ और $\frac{c_{1}}{c_{2}}$ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(i) 5x – 4y + 8 = 0; 7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0;18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0

Answer 1

(i) 5x – 4y + 8 = 0; 7x + 6y – 9 = 0
यहाँ, $a_1=5,b_1=-4,c_1=8$ और,
$a_2=7,b_2=6,c_2=-9$

अब, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{7}$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{6}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{-9}$

हम जानते हैं कि जब $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ होता है तब समीकरण का एक हल होता है ।
यहाँ, $\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$ है , अतः समीकरणों के एक हल हैं या प्रतिच्छेदित करती है ।

(ii) 9x + 3y + 12 = 0;18x + 6y + 24 = 0
यहाँ, $a_1=9,b_1=3,c_1=12$ और,
$a_2=18,b_2=6,c_2=24$

अब, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

हम जानते हैं यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$ तब समीकरणों की ग्राफ रेखाएँ संपाती होती है । अतः रेखाएँ संपाती है ।

(iii) 6x – 3y + 10 = 0; 2x – y + 9 = 0
यहाँ, $a_1=6,b_1=-3,c_1=10$
$a_2=2,b_2=-1,c_2=9$

अब, $\frac{a_1}{a_2}=\frac{6}{2}=3$

$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-3}{-1}=3$

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{9}$

हम जानते हैं कि यदि $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$ तब रेखाएँ समानांतर होती है अतः समीकरणों का ग्राफ समानांतर है ।