Question

Calculate
$7^{log_{3}5}+3^{log_{5}7}-5^{log_{3}7}-7^{log_{5}3}$​

Answer 1

$\bigstar\;\;\boxed{\mathsf{We\;know\;that : x = p^{\log_px}}}$

$\mathsf{\bullet\;\; p\;can\;be\;written\;as\;\large\boxed{\mathsf{q^{\log_qp}}}}$

$\mathsf{\implies x = \left(q^{\log_qp}\right)^{(\log_px)}}$

$\mathsf{\implies x = q^{(\log_qp)(\log_px)}}$

$\mathsf{Applying\;\log_q\;on\;both\;sides,\;We\;get :}$

$\mathsf{\implies \log_qx = \log_q\left[q^{(\log_qp)(\log_px)}\right]}$

$\bigstar\;\;{\boxed{\mathsf{We\;know\;that : \log_a(b)^c = c\log_ab}}}$

$\mathsf{\implies \log_qx = {(\log_qp)(\log_px)\log_qq}}$

$\bigstar\;\;{\boxed{\mathsf{We\;know\;that : \log_a(a) = 1}}}$

$\implies \boxed{\mathsf{\log_qx = {\log_qp.\log_px}}}$

$\mathsf{Now,\;Consider : 7^{\log_35}}$

$\bigstar\;\;\mathsf{\log_35\;can\;be\;written\;as\;\log_37.\log_75}$

$\mathsf{\implies 7^{\log_37.\log_75}}$

$\mathsf{\implies 7^{\log_75.\log_37}}$

$\bigstar\;\;\mathsf{7^{\log_75} = 5}}$

$\mathsf{\implies 5^{\log_37}}$

$\implies \mathsf{7^{\log_35} = 5^{\log_37}}$

In the Similar way :

$\mathsf{Consider : 3^{\log_57}}$

$\bigstar\;\;\mathsf{\log_57\;can\;be\;written\;as\;\log_53.\log_37}$

$\mathsf{\implies 3^{\log_53.\log_37}}$

$\mathsf{\implies 3^{\log_37.\log_53}}$

${\bigstar\;\;\mathsf{3^{\log_37} = 7}}$

$\mathsf{\implies 7^{\log_53}}$

$\implies \mathsf{3^{\log_57} = 7^{\log_53}}$

Substituting the found out values in the question, We get :

$\mathsf{\implies 5^{\log_{3}7} + 7^{\log_{5}3} - 5^{\log_{3}7} - 7^{\log_{5}3}}$

$\mathsf{\implies 5^{\log_{3}7} - 5^{\log_{3}7} + 7^{\log_{5}3} - 7^{\log_{5}3}}$

$\mathsf{\implies 0}$

In General :

$\huge{\boxed{\mathsf{a^{\log_{b}c} = c^{\log_{b}a}}}}$

Answer 2

Answer:

$7^{log_{3}5}+3^{log_{5}7}-5^{log_{3}7}-7^{log_{5}3}=0$

Step-by-step explanation:

Concept used:

Let $a^x=N$

$log_{a}N=x$

Then,

$N=a^{log_{a}N}$...............(1)

$7^{log_{3}5}+3^{log_{5}7}-5^{log_{3}7}-7^{log_{5}3}$

1.

$7^{log_{3}5}$

$=(3^{log_{3}7})^{log_{3}5}$   (using(1))

$=3^{log_{3}7\:log_{3}5}$

2.

$3^{log_{5}7}$

$=(5^{log_{5}3})^{log_{5}7}$ (using(1))

$=5^{log_{5}3\:log_{5}7}$

3.

$5^{log_{3}7}$

$=(3^{log_{3}5})^{log_{3}7}$ (using(1))

$=3^{log_{3}5\:log_{3}7}$

4.

$7^{log_{5}3}$

$=(5^{log_{5}7})^{log_{5}3}$ (using(1))

$=5^{log_{5}7\:log_{5}3}$

Now,

$7^{log_{3}5}+3^{log_{5}7}-5^{log_{3}7}-7^{log_{5}3}$

$=3^{log_{3}7\:log_{3}5}+5^{log_{5}3\:log_{5}7}-3^{log_{3}5\:log_{3}7}-5^{log_{5}7\:log_{5}3}$

$=0$