Question

chapter - integration ​

Answer 1

Explanation :

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Let, theta $(\theta)$ = x

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$\displaystyle \tt\int \dfrac{cosx.dx}{(1 - sinx)(2 - sinx)}$

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$\displaystyle \tt\int \dfrac{cosx}{(1 - sinx)(2 - sinx)}dx$

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Apply u - substitution,

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• u = 1 - sinx

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$\displaystyle \rightarrow \tt \int - \frac{1}{u(u + 1)} du$

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$\displaystyle \rightarrow - \tt \int \frac{1}{u(u + 1)} du$

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Now, take the partial fraction of $\displaystyle \tt \frac{1}{u(u + 1)} du$.

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$\displaystyle \rightarrow \tt - \int \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{u + 1} du$

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Apply the sum rule,

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$\int$ f(x) ± g(x) dx = $\int$ f(x) dx ± $\int$ g(x) dx

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$\rightarrow \displaystyle \tt - \bigg( \int \dfrac{1}{u} du - \int \dfrac{1}{u + 1} du \bigg)$

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$\rightarrow \tt \displaystyle \tt - (in|u| - in|u - 1| )$

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Substitute back, u = 1 - sinx.

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$\rightarrow \tt \displaystyle \tt - (in|1 - sinx| - in|1 - sinx + 1| )$

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$\rightarrow \tt \displaystyle \tt - (in|1 - sinx| - in|-sinx + 2| )$

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$\rightarrow\red{ \tt \displaystyle \tt - (in|1 - sinx| - in|-sinx + 2| )+C}$