Question

cosA -sinA+1/cosA +sinA -1=cosec A +cot A

Answer 1

$\huge{ \underline{ \overline{ \mid{ \mathfrak{ \purple{ \: \: SOLUTION \: \: } \mid}}}}}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: To \: \: Prove : \leadsto \: \: }} \\ \\ \tt{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} = cosec \: A + cot \: A}$

$\underline{ \mathfrak{ \: \: Identity \: \: Used : \leadsto \: \: }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf{ \: \: cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A = 1 \: \: }}$

$\tt {L.H.S. = \frac{cos \:A - sin \: A + 1 }{cos \: A + sin \: A - 1} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt= \frac{ \frac{cos \:A - sin \: A + 1}{sin \: A} }{ \frac{cos \: A + sin \: A - 1}{sin \: A} } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{ \frac{cos \: A}{sin \: A} - \frac{sin \:A }{sin \: A} + \frac{1}{sin \:A } }{ \frac{cos \:A }{sin \: A} + \frac{sin \:A }{sin \: A} - \frac{1}{sin \: A} }} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{ = \frac{cot \: A - 1 + cosec \: A}{cot \:A + 1 - cosec \: A } } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ =\frac{cot \: A + cosec \: A - 1}{cot \:A - cosec \: A + 1 } }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = \frac{cot \: A + cosec \: A -( cosec {}^{2} A - cot {}^{2} A) }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{cosec \: A + cot\: A -[( cosec \: A - cot \: A)( cosec \: A + cot \: A)] }{cot \:A - cosec \: A + 1}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)[1 - (cosec \: A - cot\: A)]}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - cosec \: A + cot\: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A}} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= \frac{(cosec \: A + cot\: A)(1 - + cot\: A - cosec \: A)}{1 + cot \:A - cosec \: A} }\\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{= cosec \: A + cot \: A } \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\tt{ = R.H.S.} \\ \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \underline{ \bf{ \: \: \: Proved. \: \: \: }}$