Question

.cotθ+tanθ=x மற்றும் secθ-cosθ=y எனில்
(x^2 y)^(2⁄3)-(xy^2 )^(2⁄3)=1 என்பதை நிருபி

Answer 1

விளக்கம்:

$\cot \theta+\tan \theta=x$

$\sec \theta-\cos \theta = y$

$\left(x^{2} y\right)^{2 / 3}-\left(x y^{2}\right)^{2 / 3}=1$

$x^{2}=(\cot \theta+\tan \theta)^{2}$

     $=\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^{2}$

     $=\left(\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cos \theta}\right)^{2}$

$x^{2}=\frac{1}{\cos ^{2} \theta\sin ^{2} \theta}$   ......(1)

$x=\frac{1}{\sin \theta \cos \theta}$

$y=\sec \theta - \cos \theta$

$=\frac{1}{\cos \theta}- \cos \theta$

$y=\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos \theta}=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}$

$y^{2}=\frac{\sin ^{4} \theta}{\cos ^{2} \theta}$    .........(2)

இடப்பக்கம்

$\left(x^{2} y\right)^{2 / 3}-\left(x y^{2}\right)^{2 / 3}$

$\left[\frac{1}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta} \times \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}\right]^{2 / 3}$

$=\left[\frac{1}{\cos ^{3} \theta}\right]^{2 / 3}-\left[\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos ^{3} \theta}\right]^{2 / 3}$

$=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}-\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}$

$=\frac{1-\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}$

$=\frac{\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta}=1$ = வலப்பக்கம்

இடப்பக்கம் = வலப்பக்கம்

$\cot \theta+\tan \theta=x$  மற்றும்   $\sec \theta-\cos \theta=y$ எனில் $\left(x^{2} y\right)^{2 / 3}-\left(x y^{2}\right)^{2 / 3}=1$

என நிருபிக்கபட்டது.