Question

cube of a positive integer of the form of 6q+r,q is an integer and r=o,1,2,3,4,5 is also of the form of 6m+r

Answer 1

let a be any +ve integer
b=6
by euclid 's division lemma,  
a=bq+r, 0=< r < b
a= 6q+r,0=< r 
when
r=0,
a = 6q
⇒ a³ = (6q)³ = 216q³= 6(36q³) = 6m(where m is = 36q³)

when
r=1,
a=6q+1 
 (a)³=(6q+1)³ = (6q)³+(1)³ + 3(6q)(1)(6q+1)
                           216q³+1 + 18q(6q+1)
                            216q³+1 + 108q²+18q
                            216q³+ 108q²+18q+1 
                             6(36q³+18q²+3q)+1
                          ⇒6m+1 {where m= (36q³+18q²+3q)}

when
r=2,
a=6q+2 
 (a)³=(6q+2)³=(6q)³+(2)³ + 3(6q)(2)(6q+2)
                     = 216q³+ 8+ 36q(6q+2)
                     =216q³+ 8+ 216q² +72q
                   =216q³+  216q² +72q+8
                    =6(36q³+  36q² +12q)+8
                 ⇒6m+8 [where m = (36q³+  36q² +12q)]

when
r=3,
a=6q+3 
 (a)³=(6q+3)³=(6q)³+(3)³ + 3(6q)(3)(6q+3)
                       = 216q³+27 + 54q(6q+3)
                       =216q³+27 + 324q²+ 162q
                      =216q³ + 324q²+ 162q+27
                     =6(36q³+54q²+27q)+27
                     ⇒6m+27 [where m= (36q³+54q²+27q)]
when
r=4,
a=6q+4 
 (a)³=(6q+4)³=(6q)³+(4)³ + 3(6q)(4)(6q+4)
                     = 216q³+64+72q(6q+4)
                    = 216q³+64+432q²+ 288q
                  = 216q³+432q²+ 288q+64
                =6 (36q³+72q²+28q)+64
                  ⇒6m+64 [where m=(36q³+72q²+28q)]

when
r=5,
a=6q+5 
 (a)³=(6q+5)³=(6q)³+(5)³ + 3(6q)(5)(6q+5)
                      =216q³+125+90q(6q+5)
                    =216q³+125+5400q²+450q
                     =216q³+5400q²+450q+125
                    =6(36q³+900q²+75q)+125
                  ⇒6m+125 [ where m =(36q³+900q²+75q)]

hence 
r=o,1,2,3,4,5 is also of the form of 6m+r