Question

d^2y/dx^2-3dy/dx+2y=e^x/1+e^x​

Answer 1

$\underline{\textsf{Solution :}}$

$\mathsf{Given,\:\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-3\frac{dy}{dx}+2y=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}$

$\boxed{\textsf{Finding C.F.}}$

$\textsf{Let, the auxiliary equation be}$

$\mathsf{m^{2}-3m+2=0}$

$\to \mathsf{(m-2)(m-1)=0}$

$\therefore \mathsf{m =2,1}$

$\mathsf{So,\:C.F.=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}}$

$\mathsf{=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}\:(say)\:,}$

$\mathsf{where\:y_{1}=e^{2x}\:,\:y_{2}=e^{x}}$

$\boxed{\textsf{Finding P.I.}}$

$\mathsf{Now,\:W(y_{1},y_{2})}$

$\mathsf{=\left | \begin{array}{cc}y_{1} & y_{2} \\ y'_{1} & y'_{2} \end{array}\right |}$

$\mathsf{=\left | \begin{array}{cc}e^{2x} & e^{x} \\ 2\:e^{2x} & e^{x} \end{array}\right |}$

$\mathsf{=e^{3x}-2\:e^{3x}}$

$\mathsf{=-e^{3x}\neq 0}$

$\mathsf{So,\: y_{1}\:,\:y_{2}\:are\:L.I.}$

$\mathsf{Let,\:y_{p}=v_{1}(x)y_{1}+v_{2}(x)y_{2}}$

$\mathsf{Then,\:v_{1}=\int \frac{-y_{2}R(x)}{W(y_{1},y_{2})}dx}$

$\mathsf{=\int \dfrac{-e^{x}\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{-e^{3x}}dx}$

$\mathsf{=\int \frac{dx}{e^{x}(1+e^{x})}}$

$\mathsf{=\int [\frac{1}{e^{x}}-\frac{1}{1+e^{x}}]dx}$

$\mathsf{=\int \frac{dx}{e^{x}}-\int \frac{dx}{1+e^{x}}\:\:...(i)}$

$\mathsf{Let,\:1+e^{x}=u}$

$\to \mathsf{e^{x}dx=du}$

$\to \mathsf{dx=\frac{du}{u-1}}$

$\mathsf{So,\:\int \frac{dx}{1+e^{x}}}$

$\mathsf{=\int \frac{du}{u(u-1)}}$

$\mathsf{=\int [\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u}]du}$

$\mathsf{=\int \frac{du}{u-1}-\int \frac{du}{u}}$

$\mathsf{=log(u-1)-logu}$

$\mathsf{=log(e^{x})-log(1+e^{x})}$

$\mathsf{=x-log(1+e^{x})}$

$\textsf{Continuing (i), we get}$

$\to \mathsf{\int e^{-x}dx-\{x-log(1+e^{x})\}}$

$\mathsf{=-e^{-x}-x+log(1+e^{x})}$

$\to \mathsf{v_{1}=-e^{-x}-x+log(1+e^{x})}$

$\mathsf{Again,\:v_{2}=\int \frac{y_{1}R(x)}{W(y_{1},y_{2})}dx}$

$\mathsf{=\int \dfrac{e^{2x}\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{-e^{3x}}dx}$

$\mathsf{=-\int \frac{dx}{1+e^{x}}}$

$\mathsf{=-\{x-log(1+e^{x})\}}$

$\mathsf{=-x+log(1+e^{x})}$

$\to \mathsf{v_{2}=-x+log(1+e^{x})}$

$\mathsf{Hence,\:y_{p}=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2}}$

$\mathsf{=e^{2x}[-e^{-x}-x+log(1+e^{x})]}$

$\mathsf{+e^{x}[-x+log(1+e^{x})]}$

$\mathsf{=-e^{x}-x\:e^{2x}+e^{2x}log(1+e^{x})}$

$\mathsf{-x\:e^{x}+e^{x}log(1+e^{x})}$

$\mathsf{=(e^{2x}+e^{x})log(1+e^{x})}$

$\mathsf{-(x+1)e^{x}-x\:e^{2x}}$

$\textsf{Therefore, the complete solution be}$

$\mathsf{y=C.F.+y_{p}}$

$\mathsf{=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}}$

$\mathsf{+(e^{2x}+e^{x})log(1+e^{x})}$

$\mathsf{-(x+1)e^{x}-x\:e^{2x}}$