Question

(D2-4D+3)Y=sin3x cos2x​=??

Answer 1

$\underline{\textbf{Given:}}$

$\mathsf{(D^2-4D+3)y=sin3x\,cos2x}$

$\underline{\textbf{To find:}}$

$\textsf{General solution of the differential equation}$

$\underline{\textbf{Solution:}}$

$\mathsf{Consider,}$

$\mathsf{(D^2-4D+3)y=sin3x\,cos2x}$

$\textsf{This can be writtten as,}$

$\mathsf{(D^2-4D+3)y=\dfrac{1}{2}(2\,sin3x\,cos2x)}$

$\mathsf{(D^2-4D+3)y=\dfrac{1}{2}(sin(3x+2x)+sin(3x-2x))}$

$\mathsf{(D^2-4D+3)y=\dfrac{1}{2}(sin\,5x+sin\,x)}$

$\textsf{Characteristic equation is}$

$\mathsf{m^2-4m+3=0}$

$\mathsf{(m-1)(m-3)=0}$

$\implies\mathsf{m=1,3}$

$\mathsf{Complementary\;function\;is\;Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}}$

$\mathsf{Ae^{(1)x}+Be^{(3)x}}$

$\mathsf{Ae^x+Be^{3x}}$

$\mathsf{Particular\;Integral-1}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{2}\,sin\,5x}{D^2-4D+3}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,5x}{2(-25-4D+3)}}\;\;(\because\;D^2\implies\,-25)}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,5x}{2(-22-4D)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,5x}{-4(2D+11)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,5x}{-4(2D+11)}{\times}\dfrac{2D-11}{2D-11}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,D(sin5x)-11\,sin5x}{-4(4D^2-11^2)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2(5\,cos5x)-11\,sin5x}{-4(4(-25)-121)}}$

$\mathsf{=\dfrac{10\,cos5x-11\,sin5x}{-4(-100-121)}}$

$\mathsf{=\dfrac{10\,cos5x-11\,sin5x}{-4(-221)}}$

$\mathsf{=\dfrac{10\,cos5x-11\,sin5x}{884}}$

$\mathsf{Particular\;Integral-2}$

$\mathsf{=\dfrac{\dfrac{1}{2}\,sin\,x}{D^2-4D+3}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,x}{2(-1-4D+3)}}\;\;(\because\;D^2\implies\,-1)}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,x}{2(2-4D)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,x}{-4(2D-1)}}$

$\mathsf{=\dfrac{sin\,x}{-4(2D-1)}{\times}\dfrac{2D+1}{2D+1}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,D(sin\,x)+sin\,x}{-4(4D^2-1)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,cos\,x+sin\,x}{-4(4(-1)-1)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,cos\,x+sin\,x}{-4(-4-1)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,cos\,x+sin\,x}{-4(-5)}}$

$\mathsf{=\dfrac{2\,cos\,x+sin\,x}{20}}$

$\therefore\mathsf{The\;general\;solution\;is}$

$\mathsf{y=C.F+P.I_1+P.I_2}$

$\boxed{\mathsf{y=Ae^x+Be^{3x}+\dfrac{10\,cos5x-11\,sin5x}{884}+\dfrac{2\,cos\,x+sin\,x}{20}}}$