Dos varillas delgadas se sujetan en el interior de un anillo
circular, como se muestra en la
figura P2.84. Una varilla de longitud D es vertical, y la otra de
longitud L forma un ángulo u
con la horizontal. Las dos varillas y el anillo están en un plano
vertical. Dos pequeñas cuentas
están libres para deslizarse sin
fricción a lo largo de las varillas. (a) Si las dos cuentas se
liberan simultáneamente a partir del reposo desde las posiciones que se muestran, use su
intuición y conjeture qué cuenta llega al fondo primero.
(b) Halle una expresión para el intervalo de tiempo necesario para que la cuenta roja caiga del punto A al punto C
en términos de g y D. (c) Encuentre una expresión para
el intervalo de tiempo requerido para que la cuenta azul
se deslice desde el punto B al punto C en términos de
g, L y u. (d) Demuestre que los dos intervalos de tiempo
encontrados en los incisos (b) y (c) son iguales. Sugerencia:
¿cuál es el ángulo entre las cuerdas AB y BC del círculo?
(e) ¿Estos resultados le sorprenden? ¿Su conjetura intuitiva
del inciso (a) es correcta?
Answers
Answer:
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Step-by-step explanation:
(a) The factors to consider are as follows. The red bead falls through a greater distance with a downward acceleration of g. The blue bead travels a shorter distance, but with acceleration of gsinθ. A first guess would be that the blue bead “wins,” but not by much.
We do note, however, that points A,B, and C are the vertices of a right triangle with AC as the hypotenuse.
(b) The red bead is a particle under constant acceleration. Taking downward as the positive direction, we can write
Δy=y
0
+v
y0
t+
2
1
a
y
t
2
as, D=
2
1
gt
R
2
which gives, t
R
=
g
2D
(c) The blue bead is a particle under constant acceleration, with a=gsinθ. Taking the direction along L as the positive direction, we can write
Δy=y
0
+v
[
y0]t+
2
1
a
y
t
2
as L=
2
1
(gsinθ)t
B
2
which gives, t
B
=
gsinθ
2L
(d) For the two beads to reach point C simultaneously, t
R
=t
B
. Then
g
2D
=
gsinθ
2L
Squaring both sides and cross-multiplying gives
2gDsinθ=2gL
We note that the angle between chords AC and BC is 90
0
−θ, so that the angle between chords AC and AB is θ. Then, sinθ=
D
L
, and the beads arrive at point C.
simultaneously.
(e) Once we recognize that the two rods form one side and the hypotenuse of a right triangle with θθ as its smallest angle, then the result becomes obvious.